理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

Math

円周率の評価~2003年の「あの」問題の類題~

もう 14年も前になるんですね.あまりにも有名すぎる入試問題*1 円周率が 3.05よりも大きいことを証明せよ.(2003年東大)のパクリ,いえ類題です.どこかですでに出ているのかもしれませんが,いつもの備忘録的な感じで以下書いていきます. 類題 円周率が 3…

不等式と領域の例題

シンプルで比較的簡単な問題ですが,少し解き方を考えてみたいと思います. 問題 実数 が を満たすとき,または が成り立つことを示せ. 解き方(1):相加・相乗平均の関係を用いる 示したい式に現れる 4つの項 はすべて正の値となるので,相加・相乗平均の関…

三角形と点~Project Euler Problem 102~

最近,Project Eulerなる数学の問題集サイトに出会いました.問題集といっても,数学とプログラミングを組合せて解くある種「力技」なものなので,純粋な数学の考え方+効率の良いアルゴリズムを考えるという問題になっています. 問題によっては,高校数学…

ちょっと面白い積分

たまたま見かけた問題です.なかなか面白いと思うので載せておきます. ※すいません,TeXをゴリゴリ書いてしまったので表示が重いかもしれません. 問題 の小数部分を と表すとき,次の値を求めよ. 「小数部分」となっていますが,とガウス記号の問題に置き…

植木算の立体バージョン?~オイラーの多面体定理~

「人は多面体である.」なんて言葉は,人の性格を説明するときに使われるものだったりしますが,今回は多面体(平面で囲まれた立体図形であり,かつ穴がなく凹んでいないもの)に関するネタです. 話のきっかけ 先日,Eテレを見ていたら「又吉直樹のヘウレーカ…

「ベクトルは難しくないと思うのですが」の焼き直し

過去に書いた以下のネタの焼き直しです. miwotukusi.hatenablog.jp miwotukusi.hatenablog.jp 書いた当初は,MathJaxによる記述ができることを知らず,無理やりベクトルを表記していました.なので,内容はともかく見栄えが悪いものとなっていました*1.今…

「うなり」の数学的考察~その1~

今夏の自由研究というわけではないですが,高校物理の波動で出てくる「うなり」についてです.公式も「うなりの回数」を求めるぐらいにしか使わないので,あまり注目されないところではあります.今回は,ここを突いてみようと思います. 途中,三角関数の加…

「蚊取り線香の中間地点」の補足(次元解析的な)

元ネタを見返していて,気になったことがあったので補足を記しておきます.元ネタに追記してもよかったのですが,ちょっと大事なポイントもあるので別にしておきます. 元ネタは,ココです. 蚊取り線香のうず巻き~その1~ - 理系男子の独り善がり 蚊取り線…

線形計画法~「なんとなく kと置いて」ませんか?~

高校数学だけでなく,IT系や経済関連の資格試験などでも出てくる線形計画法(LP; Linear Programming)についてです. まずは,例題を挙げておきます. 例題 が 4つの不等式 を満たすとき, の最大値を求めよ. の最大値を求めよ. の最大値を求めよ. 厳密に…

蚊取り線香の中心(中間地点)は3秒ではわからない.と思います

今夜(2017/07/23夜)に放送された初耳学 www.mbs.jp最後に出た「蚊取り線香の中心はどこだ」という問いに,たまたま見ていた私は「あ~!」と叫んでしまいました. ただ,「3秒で答えなさい」は「そりゃ,あんさん無茶だっせ」とも. 林先生の答えは間違いに…

ちょっと面倒くさい 1次変換の問題 ~その2~

前回の続きです.問3を考えていきます.まずは,問題文を改めて. 3. 直線 が原点を通らないならば,点 は直線 上にあることを示せ.なんか,似たような文章がすでに出てきてましたよね. 2. となる点 が存在すれば,点 は直線 上にあることを示せ.2つとも…

ちょっと面倒くさい 1次変換の問題 ~その1~

むかし出会った 1次変換の問題です.問題のレベルは決して高くないのですが,ちょっと面倒くさいという問題です.いつもの備忘録も兼ねて,以下に記しておきます. 問題 座標平面上に相違なる 4点 があり,1次変換 により と移されるものとする.また,は同…

通分の計算~分数計算の「あるある」から~

久しぶりすぎて,どんな風に書き出せばいいのか?という感じで書き始めています. 小学生がよくする通分の計算間違いから,ちょっと話を膨らませてみます. 「足してしまう」計算間違い 見てもらう方が早いですね.こういうやつです. 分母も分子もそれぞれ…

「2017年大阪市大前期理系数学第1問」のメモ~積分の基本を学ぶにはいい問題だと思います~

タイトルにも書いたように,積分の練習問題としてはいい問題だと思います.「いい」というのは,ある意味「ひっかけ」もあるってことでもあるのですが(笑) 問題 半径 1の円柱を,底面の直径を含み底面と角 をなす平面で切ってできる小さい方の立体を考える.…

「2017年京大理系数学第3問」のメモ~今年もまた〇と〇?~

2次試験はじまりました.なんとなくですが,計算力で勝負する問題が増えてきている気がしています. やはり,課程が変わっているからなのでしょうか? 問題 を自然数,を を満たす実数とする.このとき を満たす の組 をすべて求めよ. tanの加法定理が出て…

「2017年早稲田大教育学部数学[1](2)」のメモ

いよいよ,明日は2次試験ですね.その前に,ちょっと目に留まった問題のメモを残しておきます. 問題 を 以上の自然数とする.から までの自然数の順列 のうち,を満たさないような がただ つだけある順列の総数を とする.例えば,の場合,条件を満たす順列…

2017年は休みが少ない

今年は何かと休みの並びが良くないようですね.お正月が週末というところから始まり,なんと「祝日が土曜日」が 4回もあるそうです.そこで,単純に祝日の間隔を書き下してみました*1. ハッピーマンデーが増えたとはいえ 日にちが不定な春分の日・秋分の日…

2017酉も,よろしくお願いいたします〜解答編〜

受験前の高校生であれば,15分ぐらい(できれば 10分)では答えを出して欲しいところです.見た目は整数問題っぽいですが,それだけでもないという問題です. 1) を求める 要は,2017が何の 2乗となるのか?という話です.ある程度近い値を見つけて寄せていく…

2017酉も,よろしくお願いいたします〜問題編〜

あけましておめでとうございます.めっきりネタを書くことが少なくなってしまいましたが*1,ゆるりゆるりとお付き合いいただければ幸いです. 今年もまたちょっとした整数問題を考えてみました。なにせ 2017は素数ですから,相当狙い撃ちをされるのではない…

ニュートン法の補足(数値解がずれてしまうこと)

以前,少し触れていた内容です.元ネタは↓ miwotukusi.hatenablog.jp脚注の中で,「極値の近くなどでは,期待どおりの解に到達できない場合もあります.」と記していました.その具体例となぜそんなことになるのかを以下に示します. 調べ方 以下のような処…

蚊取り線香2016 feat. 曲率

前回,曲率の定義を書き下しました.今回のネタのために書いたものでした.元ネタはこちら. 蚊取り線香のうず巻き~その1~ - 理系男子の独り善がり 蚊取り線香のうず巻き~その2~ - 理系男子の独り善がり 線香の燃え方に曲率が関係するのか?ということを…

曲がったことはお嫌いですか?~曲率~

まだまだ暑くて,体がだるーんと曲がってしまいます.今日は,曲率です.高校数学ではまず扱わない分野ですね.でも,微分の知識があれば,定義も計算もできる内容なので難しくはないと思います*1. 130R と聞くと,お笑いコンビ(最近は揃ってみることは,ま…

置換積分の図形的なイメージ

だいぶと日が経ってしまいました. 微分積分という分野は,「無限」を扱うので,単純にイメージだけで片付けるのは危険なところがあります.でも,ここでは「まず,習うより慣れよ」ということで,書いてみることにします. 置換積分って何をしてる? 言い換…

条件付き確率 no 補足

もう3か月以上も経っていますが,ちょうどいい例もあったので補足と合わせて書いておきます.元ネタはこちら↓ miwotukusi.hatenablog.jp まずは,補足から 上級編の病気の検査についてです.「ベン図が描きにくい」と書きましたが,全数を一度 人とおいて整…

近似値問題~ニュートン法~

前々回,前回と,と の大小関係を調べました.その中で,でも となるときがあることがわかりました.そして,その と の関係式を としてグラフを描きました. ここでは,のグラフの描き方を書いていきます. ニュートン法 これは高校数学の範囲でも書かれる…

どっちが大きい?~「aのb乗」と「bのa乗」~ (後半)

前回の続きです.まずは,グラフの概形から. iii) のときのグラフの概形 ポイントとなるのは, であること (最小値が 0以下)であること と の大小関係 の3つです.そして,グラフの概形を描いた後に,そもそも の範囲で大小関係を考えていることに立ち戻っ…

どっちが大きい?~「aのb乗」と「bのa乗」~ (前半)

唐突ですが,と の大小関係を考えてみたいと思います.数に対する条件も含めて,問題として書くと 問題 である2つの実数 と について,と の大小関係を示せ. 指数関数の基本と問題への準備 底が同じであれば,指数法則の大小関係を使いますよね.って,一応…

「2016年東大前期理系数学第6問(積分)」のメモ

図形の計量に関する問題です.この問題,変数をどのように置くかでいろいろな回答が出てきます.こういう置き方もありますよ.というものを一つ挙げておきます. 問題の概要と方針 問題自体は書きませんが,ちょっと生活感を出した感じにすると,次のように…

「2016年東大前期理系数学第5問(整数問題)」のメモ

今年は「あまり」に絡んだ整数問題があちこちで出されていますね.先に書いた京大の問題もそうですし. 東大の問題からも,整数問題(小数問題?)を取り上げておきます. 問題はちょっと長いので,河合塾さんへのリンクで. この問題,小数部分に関する問題と…

「2016年京大前期理系数学第2問」のメモ

2次試験がはじまりましたね.とりあえず,またシンプルな(短い)問題をいじっておきます. 問題 素数 を用いて と表される素数をすべて求めよ. 整数問題で「すべて求めよ」という問われ方をしているときは,「小さい数のいくつかが答えで,値が大きくなると…