理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

Math

「うなり」の数学的考察~その1~

今夏の自由研究というわけではないですが,高校物理の波動で出てくる「うなり」についてです.公式も「うなりの回数」を求めるぐらいにしか使わないので,あまり注目されないところではあります.今回は,ここを突いてみようと思います. 途中,三角関数の加…

「蚊取り線香の中間地点」の補足(次元解析的な)

元ネタを見返していて,気になったことがあったので補足を記しておきます.元ネタに追記してもよかったのですが,ちょっと大事なポイントもあるので別にしておきます. 元ネタは,ココです. 蚊取り線香のうず巻き~その1~ - 理系男子の独り善がり 蚊取り線…

線形計画法~「なんとなく kと置いて」ませんか?~

高校数学だけでなく,IT系や経済関連の資格試験などでも出てくる線形計画法(LP; Linear Programming)についてです. まずは,例題を挙げておきます. 例題 が 4つの不等式 を満たすとき, の最大値を求めよ. の最大値を求めよ. の最大値を求めよ. 厳密に…

蚊取り線香の中心(中間地点)は3秒ではわからない.と思います

今夜(2017/07/23夜)に放送された初耳学 www.mbs.jp最後に出た「蚊取り線香の中心はどこだ」という問いに,たまたま見ていた私は「あ~!」と叫んでしまいました. ただ,「3秒で答えなさい」は「そりゃ,あんさん無茶だっせ」とも. 林先生の答えは間違いに…

ちょっと面倒くさい 1次変換の問題 ~その2~

前回の続きです.問3を考えていきます.まずは,問題文を改めて. 3. 直線 が原点を通らないならば,点 は直線 上にあることを示せ.なんか,似たような文章がすでに出てきてましたよね. 2. となる点 が存在すれば,点 は直線 上にあることを示せ.2つとも…

ちょっと面倒くさい 1次変換の問題 ~その1~

むかし出会った 1次変換の問題です.問題のレベルは決して高くないのですが,ちょっと面倒くさいという問題です.いつもの備忘録も兼ねて,以下に記しておきます. 問題 座標平面上に相違なる 4点 があり,1次変換 により と移されるものとする.また,は同…

通分の計算~分数計算の「あるある」から~

久しぶりすぎて,どんな風に書き出せばいいのか?という感じで書き始めています. 小学生がよくする通分の計算間違いから,ちょっと話を膨らませてみます. 「足してしまう」計算間違い 見てもらう方が早いですね.こういうやつです. 分母も分子もそれぞれ…

「2017年大阪市大前期理系数学第1問」のメモ~積分の基本を学ぶにはいい問題だと思います~

タイトルにも書いたように,積分の練習問題としてはいい問題だと思います.「いい」というのは,ある意味「ひっかけ」もあるってことでもあるのですが(笑) 問題 半径 1の円柱を,底面の直径を含み底面と角 をなす平面で切ってできる小さい方の立体を考える.…

「2017年京大理系数学第3問」のメモ~今年もまた〇と〇?~

2次試験はじまりました.なんとなくですが,計算力で勝負する問題が増えてきている気がしています. やはり,課程が変わっているからなのでしょうか? 問題 を自然数,を を満たす実数とする.このとき を満たす の組 をすべて求めよ. tanの加法定理が出て…

「2017年早稲田大教育学部数学[1](2)」のメモ

いよいよ,明日は2次試験ですね.その前に,ちょっと目に留まった問題のメモを残しておきます. 問題 を 以上の自然数とする.から までの自然数の順列 のうち,を満たさないような がただ つだけある順列の総数を とする.例えば,の場合,条件を満たす順列…

2017年は休みが少ない

今年は何かと休みの並びが良くないようですね.お正月が週末というところから始まり,なんと「祝日が土曜日」が 4回もあるそうです.そこで,単純に祝日の間隔を書き下してみました*1. ハッピーマンデーが増えたとはいえ 日にちが不定な春分の日・秋分の日…

2017酉も,よろしくお願いいたします〜解答編〜

受験前の高校生であれば,15分ぐらい(できれば 10分)では答えを出して欲しいところです.見た目は整数問題っぽいですが,それだけでもないという問題です. 1) を求める 要は,2017が何の 2乗となるのか?という話です.ある程度近い値を見つけて寄せていく…

2017酉も,よろしくお願いいたします〜問題編〜

あけましておめでとうございます.めっきりネタを書くことが少なくなってしまいましたが*1,ゆるりゆるりとお付き合いいただければ幸いです. 今年もまたちょっとした整数問題を考えてみました。なにせ 2017は素数ですから,相当狙い撃ちをされるのではない…

ニュートン法の補足(数値解がずれてしまうこと)

以前,少し触れていた内容です.元ネタは↓ miwotukusi.hatenablog.jp脚注の中で,「極値の近くなどでは,期待どおりの解に到達できない場合もあります.」と記していました.その具体例となぜそんなことになるのかを以下に示します. 調べ方 以下のような処…

蚊取り線香2016 feat. 曲率

前回,曲率の定義を書き下しました.今回のネタのために書いたものでした.元ネタはこちら. 蚊取り線香のうず巻き~その1~ - 理系男子の独り善がり 蚊取り線香のうず巻き~その2~ - 理系男子の独り善がり 線香の燃え方に曲率が関係するのか?ということを…

曲がったことはお嫌いですか?~曲率~

まだまだ暑くて,体がだるーんと曲がってしまいます.今日は,曲率です.高校数学ではまず扱わない分野ですね.でも,微分の知識があれば,定義も計算もできる内容なので難しくはないと思います*1. 130R と聞くと,お笑いコンビ(最近は揃ってみることは,ま…

置換積分の図形的なイメージ

だいぶと日が経ってしまいました. 微分積分という分野は,「無限」を扱うので,単純にイメージだけで片付けるのは危険なところがあります.でも,ここでは「まず,習うより慣れよ」ということで,書いてみることにします. 置換積分って何をしてる? 言い換…

条件付き確率 no 補足

もう3か月以上も経っていますが,ちょうどいい例もあったので補足と合わせて書いておきます.元ネタはこちら↓ miwotukusi.hatenablog.jp まずは,補足から 上級編の病気の検査についてです.「ベン図が描きにくい」と書きましたが,全数を一度 人とおいて整…

近似値問題~ニュートン法~

前々回,前回と,と の大小関係を調べました.その中で,でも となるときがあることがわかりました.そして,その と の関係式を としてグラフを描きました. ここでは,のグラフの描き方を書いていきます. ニュートン法 これは高校数学の範囲でも書かれる…

どっちが大きい?~「aのb乗」と「bのa乗」~ (後半)

前回の続きです.まずは,グラフの概形から. iii) のときのグラフの概形 ポイントとなるのは, であること (最小値が 0以下)であること と の大小関係 の3つです.そして,グラフの概形を描いた後に,そもそも の範囲で大小関係を考えていることに立ち戻っ…

どっちが大きい?~「aのb乗」と「bのa乗」~ (前半)

唐突ですが,と の大小関係を考えてみたいと思います.数に対する条件も含めて,問題として書くと 問題 である2つの実数 と について,と の大小関係を示せ. 指数関数の基本と問題への準備 底が同じであれば,指数法則の大小関係を使いますよね.って,一応…

「2016年東大前期理系数学第6問(積分)」のメモ

図形の計量に関する問題です.この問題,変数をどのように置くかでいろいろな回答が出てきます.こういう置き方もありますよ.というものを一つ挙げておきます. 問題の概要と方針 問題自体は書きませんが,ちょっと生活感を出した感じにすると,次のように…

「2016年東大前期理系数学第5問(整数問題)」のメモ

今年は「あまり」に絡んだ整数問題があちこちで出されていますね.先に書いた京大の問題もそうですし. 東大の問題からも,整数問題(小数問題?)を取り上げておきます. 問題はちょっと長いので,河合塾さんへのリンクで. この問題,小数部分に関する問題と…

「2016年京大前期理系数学第2問」のメモ

2次試験がはじまりましたね.とりあえず,またシンプルな(短い)問題をいじっておきます. 問題 素数 を用いて と表される素数をすべて求めよ. 整数問題で「すべて求めよ」という問われ方をしているときは,「小さい数のいくつかが答えで,値が大きくなると…

【小問】の解答

先日のネタ*1*2に書いた【小問】2問の解答です.いつものごとく,細かい計算は略しています. 【第1問の小問】 問題:円周をn等分する点から異なる3つの点を選ぶとき,それらを結んでできる三角形が鋭角三角形となる確率を求めよ.ただし,nは自然数とする.…

京都大学の特色入試数学からつらつらと~その2~

前回の続きです.濃い目の2問が続きます. 第3問 コインのパズル 図は,ちょっと回転させたりしたものを描いてみました.一部で,数学五輪級の問題だと言われた問題です.確かに,易しくはありません. (1)左端にある表のコインに注目すると,線対称に表裏が…

京都大学の特色入試数学からつらつらと~その1~

この時期はどうしても仕事がバタつくので,何かネタを書きたくても書けないことが多くなります.というところで,ほんとにいまさらなのですが,昨年11月におこなわれた京都大学特色入試の問題を見て感じたことをつらつらと書いてみます.この入試,大手予備…

条件付き確率~なにがややこしいのか?~

前回の続きになります.定義・初級編・上級編という流れで書いていきます.※2016/01/26 一部修正をしています. 定義 2つの事象A,Bについて,事象Aがすでに起こっているとしたときに事象Bが起こる確率を「Aが起こったときのBの条件付き確率」といいまたはと…

2016年センター試験数学~数IA~の補足メモ

数学IA 第3問(条件付き確率)と第4問(不定方程式)についての補足メモです. 第3問 条件付き確率の問題は,図で考えやすい場合と絵が描きにくい場合があると思います.今回の問題は図で考えやすい方かと思います.確率は「分母と分子」で求められるものなので…

2016年センター試験数学~数IIB~

数IIBです.とうとう,気にしていた「あの」問題が今年は登場しましたね. 数学IIB 第1問 [1] (1)昨年は√と3乗根を指数に置き換えましたが,今年はみごとに逆です(笑).対数計算のおまけつきです. (2)問いたかったのは2番目の「逆関数」なのかなあ?という…

2016年センター試験数学~数IA~

昨年は,数IIBの難しさがニュースになるぐらいでしたが,今年はどうだったんでしょうか?また,一通り解いてみました.先に,数IIBも含めた全体的な印象を書いてしまうと, 思考力より,計算力と知識力を問うた?というところです.知識力というよりは,暗記…

2016申も,よろしくお願いいたします〜解答編〜

整数問題に分数が出てくると,ちょっと難易度があがった感じになりますね.数え上げる or 書き出してしまえば,ベタに計算できてしまう.でも,それでは時間がかかるし,計算ミスの確率も高くなる.論理的かつ効率的な考え方が必要となります. 1)約数の個数…

2016申も,よろしくお願いいたします〜問題編〜

あけましておめでとうございます.2015年は2014年ほどまではネタが書けませんでしたが,それなりに濃く重いものも,軽いものも書けたかなと思っています.引き続き,お付き合いいただければ幸いです. 1年前は2015(2014も)を用いた整数問題を出させてもらい…

連続する10個の自然数の和〜ハナタカで出た方法の裏付け〜

ちょうど「ハナタカ」を見ていて出てきたので、その理由をメモっておきます。 問題 nからはじまる連続した10個の自然数の和を求めなさい。 高校数学であれば、等差数列の和の公式ですね。ハナタカさんの方法は、この公式をちょっと変形したものです。その公…

進むのにマイナスとは,これ如何に~図形の平行移動~

高校数学の2次関数で「頂点」や「軸」が出てくるころに,のどの奥に引っかかるような感覚になるアレです.具体例を挙げると, 放物線:をx軸方向に +2だけ平行移動したものは,と表される.そうです,x軸の正の方向に「進んでいる」のに,式の上では「マイナ…

ガウス記号のおまけ~その3~

時間が空いたのですが,おまけの第3弾を書いていきます.たまたま,最近見かけたある問題をきっかけにしています. 問題 この問題は,次の数学オリンピック2009年予選問題を改題したものです. この予選問題を見ての所感(最初に考えたこと)をいろいろと書い…

蚊取り線香のうず巻き~その2~

前回の最後に触れていた「疑問」ですが,わたしは以下のようなものが出てきました. まきが1周や2周だった場合,中間地点の位置はどうなるのか.なにか規則性のようなものは見つかるのか? アルキメデスの螺旋以外に,蚊取り線香のまきを表せるような図形は…

蚊取り線香のうず巻き~その1~

先日,Eテレ2355金曜日の夜更かしワークショップで「蚊取り線香」を扱った内容が放送されていました.今回は,この内容を数学的に追っかけてみます. 元ネタ 夜更かしワークショップでは,「蚊取り線香のうず巻きの中間地点は,どのあたりなのか?」という問…

料理 de すうがく & ぶつり

西日本から関東あたりまでは梅雨明けをしたようですね.最近,ネタを揉む時間があまりないせいか,純粋な数学や物理の話に向くことが多かったようです.たまには「役に立つかはつゆ知らず」な生活じみたネタも書いてみようかと. 料理は科学だ と言った人が…

ガウス記号のおまけ~その2~

では,濃い目の2問目です. 問題2 確か,赤チャートかなんかに載ってた問題だったと思います.どちらかというと,ガウス記号以外の考え方がいろいろと出てくる私が思うにいい問題です. まずは「大きく」とらえて 数列の一般項は,x-[x]=x-(xの整数部分)…

ガウス記号のおまけ~その1~

せっかくなので,ガウス記号の問題を2題ほど解説してみたいと思います. 問題1 次の和を求めよ. 解答1 こういう問題は,試行錯誤をいろいろしてみて道筋を見つけることが大事です.ここはベタに和を書き下してみます. 赤字のところが「境界」となり,そこ…

ガウス記号

ガウス記号:[x]は,「xを超えない最大の整数」という定義が与えられますが,特に公式が与えられてたりするわけではありません.整数問題の一つという感じですね.ここでは,ちょっと角度を変えて見たりすることで,この記号の扱い方を整理してみたいと思い…

空き缶 de 作図

5月は更新ができませんでした.書きたいネタは,ちょこちょこと頭に出てくるんですが... 今回は,空き缶(円筒)とコンパスで遊んでみたいと思います.これらがあれば,簡単に試せる内容です. 問題 空き缶に紙を巻きつけ,そこへコンパスで円を描きます.巻き…

「2015年京大前期理系数学第6問」のメモ no 補足

またまた少し時間が経ちましたが,前回の続きです.もう少し突っ込んでみます. 数列の一般項 この数列は, もとの値を半分にするか(0から1/2の間に入るか) もとの値を半分にしてから,1/2加えるか(1/2から1の間に入るか) のいずれかをおこなって次の値を得…

「2015年京大前期理系数学第6問」のメモ

東大をやったら京大もということで,ちょっと時間が経っていますが,こちらも1問ピックアップしてメモを残しておきたいと思います. 問題 2つの関数を とおく. から始め,各 について,それぞれ確率 で または と定める.このとき,となる確率を求めよ. 一…

「2015年東大前期理系数学第5問の考え方」をメモしておく

受験生のみなさんは,一息ついているところでしょうか?あまり,息を抜きすぎると体調を崩してしまうかもしれないので,注意してくださいね. まだ,多くの大学の問題はWeb公開まで至っていませんが,その中で注目したのは東京大学前期理系数学第5問です.ざ…

細工だらけのサイクロイド~解答編~

以下,問いの解答です.計算過程は,だいぶ端折っていますので,気になる人はきちんと計算してください. 問1)この式を導きなさい. これは,図を描いて動点の座標がどのようにあらわされるかを導きます.と括弧を外した形で,それぞれがどの長さを表してい…

細工だらけのサイクロイド~問題編~

久々の更新で,もう2次試験が目の前まで迫ってしまいました.サイクロイドについて,ちょっと掘り下げてみます.いままでも,最速降下曲線であることとして登場していますが,今回は「振り子」の軌跡として高校数学+高校物理の範囲で扱っていきます. 単振…

2015年センター試験数学の印象~数IIB~

さて,問題の数IIBです.対数は出てこないものの,「指数に死す(ぅ)」というところでしょうか・・・ 数IIB 第1問 [1]加法定理の逆が地味に登場する問題ですね.半径2の円周上を回る点Pとその点Pを中心に半径1で回る点Qという見方ができれば,冒頭のOP,OQは…

2015年センター試験数学の印象~数IA~

すでに,Yahooニュースでは「数2Bが難しすぎる」というコメントも出ていて,「いったいどんな問題が出たのか?問題自体の難易度なのか,量の問題なのか?」と気になっていました.そこで,一通り解いてみました.新課程用の問題を解きましたが,古い人間なの…