みをつくしのひとりよがり

2022/08/10にブログ名を変えました.仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

Math

蚊取り線香のうず巻き~その1~

先日,Eテレ2355金曜日の夜更かしワークショップで「蚊取り線香」を扱った内容が放送されていました.今回は,この内容を数学的に追っかけてみます. 元ネタ 夜更かしワークショップでは,「蚊取り線香のうず巻きの中間地点は,どのあたりなのか?」という問…

料理 de すうがく & ぶつり

西日本から関東あたりまでは梅雨明けをしたようですね.最近,ネタを揉む時間があまりないせいか,純粋な数学や物理の話に向くことが多かったようです.たまには「役に立つかはつゆ知らず」な生活じみたネタも書いてみようかと. 料理は科学だ と言った人が…

ガウス記号のおまけ~その2~

では,濃い目の2問目です. 問題2 を満たし,互いに素である自然数 に対して,数列:を で定める. (1) 自然数 について,が で割り切れるとき,であることを示せ.(2) は相異なる 個の数であることを示せ.また, となることを示せ.(3) 次の値を求めよ. …

ガウス記号のおまけ~その1~

せっかくなので,ガウス記号の問題を2題ほど解説してみたいと思います. 問題1 次の和を求めよ. 解答1 こういう問題は,試行錯誤をいろいろしてみて道筋を見つけることが大事です.ここはベタに和を書き下してみます. 赤字のところが「境界」となり,そこ…

ガウス記号

ガウス記号:[x]は,「xを超えない最大の整数」という定義が与えられますが,特に公式が与えられてたりするわけではありません.整数問題の一つという感じですね.ここでは,ちょっと角度を変えて見たりすることで,この記号の扱い方を整理してみたいと思い…

空き缶 de 作図

5月は更新ができませんでした.書きたいネタは,ちょこちょこと頭に出てくるんですが... 今回は,空き缶(円筒)とコンパスで遊んでみたいと思います.これらがあれば,簡単に試せる内容です. 問題 空き缶に紙を巻きつけ,そこへコンパスで円を描きます.巻き…

「2015年京大前期理系数学第6問」のメモ no 補足

またまた少し時間が経ちましたが,前回の続きです.もう少し突っ込んでみます. 数列の一般項 この数列は, もとの値を半分にするか(0から1/2の間に入るか) もとの値を半分にしてから,1/2加えるか(1/2から1の間に入るか) のいずれかをおこなって次の値を得…

「2015年京大前期理系数学第6問」のメモ

東大をやったら京大もということで,ちょっと時間が経っていますが,こちらも1問ピックアップしてメモを残しておきたいと思います. 問題 2つの関数を とおく. から始め,各 について,それぞれ確率 で または と定める.このとき,となる確率を求めよ. 一…

「2015年東大前期理系数学第5問の考え方」をメモしておく

受験生のみなさんは,一息ついているところでしょうか?あまり,息を抜きすぎると体調を崩してしまうかもしれないので,注意してくださいね. まだ,多くの大学の問題はWeb公開まで至っていませんが,その中で注目したのは東京大学前期理系数学第5問です.ざ…

細工だらけのサイクロイド~解答編~

以下,問いの解答です.計算過程は,だいぶ端折っていますので,気になる人はきちんと計算してください. 問1)この式を導きなさい. これは,図を描いて動点の座標がどのようにあらわされるかを導きます.と括弧を外した形で,それぞれがどの長さを表してい…

細工だらけのサイクロイド~問題編~

久々の更新で,もう2次試験が目の前まで迫ってしまいました.サイクロイドについて,ちょっと掘り下げてみます.いままでも,最速降下曲線であることとして登場していますが,今回は「振り子」の軌跡として高校数学+高校物理の範囲で扱っていきます. 単振…

2015年センター試験数学の印象~数IIB~

さて,問題の数IIBです.対数は出てこないものの,「指数に死す(ぅ)」というところでしょうか・・・ 数IIB 第1問 [1]加法定理の逆が地味に登場する問題ですね.半径2の円周上を回る点Pとその点Pを中心に半径1で回る点Qという見方ができれば,冒頭のOP,OQは…

2015年センター試験数学の印象~数IA~

すでに,Yahooニュースでは「数2Bが難しすぎる」というコメントも出ていて,「いったいどんな問題が出たのか?問題自体の難易度なのか,量の問題なのか?」と気になっていました.そこで,一通り解いてみました.新課程用の問題を解きましたが,古い人間なの…

新年あけましておめでとうございます~解答編~

以下,解答のすすめ方を記していきます.整数問題としては定番ともいえる形なので,難易度はそう高くないはずです.ただ,扱っている数が比較的大きな数なので計算間違いを引き起こしやすい問題ではあります. 問題を式に表す まず,この問題の内容を式に表…

新年あけましておめでとうございます

みなさまに発信するというよりは,自分の頭の中を整理するような感じで,ぼちぼち書かせてもらっています.今年も適当にお付き合いくださればと思っています. そして,センタ試験も近くなってきましたね.2次試験向きなごちゃごちゃしたことを書くのもなん…

三角形の面積を二等分する「垂線」

解けそうで解けないと思ったら,解けちゃったという感じの問題です.タイトルどおり,問題自体はいたってシンプルです. 問題 三角形ABCにおいて,AB≧ACとする.辺BC上の点Sより垂線を引き,三角形ABCの面積を二等分する.点Sはどのような点として表されるか…

プレゼント交換会の数学~完全順列~

今回は,完全順列を考えます.別名,攪乱順列とも呼ばれるもので,こちらの方が意味を理解しやすいようにも思います.問題として考えることにします.メインは場合の数ですが,数列や数学的帰納法の内容も含んでいます. 問題 人が参加するクリスマス会でプ…

散布図と相関の使い方~たとえば,こんなのどうでしょう?~

先日,ゴルフコンペに参加してきました.グリーンの芝がベクトル場のように矢印で見えたり,物理原理をうまく使えられれば,上達するのかもしれませんが,それよりも自分の感覚(くせ)の方が勝ってしまうので,うまくなれません(苦笑).しかし,そのような人…

大は小を兼ねる?~空間図形と平面図形~

書きたいなあと思っているネタはあるのですが,ちょっと手が回ってません.今回は,以前に書いたネタの焼き直しをします. 1次変換の補足~その2~で触れていた図形の方程式に関する内容です.直線の方向ベクトルを空間図形の方程式の形に当てはめて求めると…

1次変換の補足~その3~

補足だらけになってますが,対角化を用いた例を挙げておきます. 問題 蜜が付いている2つの棒A,Bがあります.1匹のハチが,どちらかの棒に止まります.棒から飛びった後,再び棒に止まりますが,他方の棒に移る確率は (もといた棒に戻る確率は )です.ハチ…

1次変換の補足~その2~

成分計算ガリガリというよりは,1次変換の本質を問うような問題を例題として挙げてみます. むかしの阪大で出た問題 1次変換は「点を移す変換」といいましたが,基底ベクトルを移すというように「ベクトルを移す変換」という言い方もできます.成分でガリガ…

1次変換の補足~その1~

1次変換について,もう少し考察と例題を挙げてみたいと思います. ベクトル場 これを用いると,平面全体(平面上の点のそれぞれ)がどのように移されるかが視覚的にとらえられるようになります.図を描くルールは至極単純です. たとえば,1次変換を表す行列が…

数字やグラフの読み方についてちょっとだけ

実は1次変換の例題をいくつか解説しようと思っていたのですが,ふと見かけて気になったものがあったので,それと関連した以前から気になっていたことと合わせて書いてみようと思います. 駅で電車を待っていたら その前に塾の看板がありました.そこにはこの…

1次変換について,つらつらと・・・~その3~

前回までの内容をまとめてみると,次のようになります. 1次変換は,基底ベクトルの変換をおこなう. 変換しても向きの変わらないベクトルは固有ベクトルとして与えられ,固有値はその大きさ(負の場合は向きを変える)の倍率を与えている. ここまでくると,…

1次変換について,つらつらと・・・~その2~

前回も,大学入試レベルだと結構濃いめの内容だったかもしれませんが,今回はもっと濃くなっていきます(笑). 5.線形性 ほんとはこれから始めないといけないのかもしれません.1次変換の「1次」って何?に対する答えになるところです.1次変換は別名「線形…

1次変換について,つらつらと・・・~その1~

しばらくぶりの更新です.前から書いておきたい(自分でも整理しておきたい)ネタを作っていました.それが1次変換です. いつもは自分なりにひねったタイトルを考えるのですが,今回はストレートにしてみました.図形問題が絡むことが多いこともあり,高校の…

選挙の算数~その2~

前回に引き続き,選挙にまつわる算数(数学)を書いてみようと思います.今回は,ちょっと濃い目の内容です. 比例代表といえば その計算方式として出てくる「ドント式」というのがあります.比例代表の計算方式には,他にもいろいろあるそうです.そのドント…

選挙の算数~その1~

選挙にまつわる算数(数学というよりは算数っぽいので)をつらつらと書いてみます. 賛成96%? 先日おこなわれたウクライナ東部での住民投票では,「賛成が96%」「賛成が90%」といった結果が流れました. NHK NewsWeb:ウクライナ 分断のまま大統領選挙の懸念 …

東大の総合科目(後期試験) 第1問A-4のやり直し

もう一度,問題文からきっちりと整理しておきたいと思います.ある意味,備忘録という感じですが. 問題文を読み返す 問題文を順に読み解いていきます.まずは,冒頭部分から ここでは,コストが確率的に変動するということが書かれています.商品単位あたり…

東大の総合科目(後期試験)は,ややこしや~ややこしや~ 第2問AB

第2問は,微積を使う「計算問題」という感じですね.こちらはABまとめて,ポイントになりそうなところだけ書いてみます. A:湖底にある生物の卵を駆除する Aは指示に従って計算をしていくだけなので,特にこれ!という重要なポイントはないかと思います.強…