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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

「小学校6年生の算数」とはいっても・・・その4

Math

小学校6年生の算数から高校数学に引っ張り込んできましたが、最後にもう一つ書いておきます。

 

3点と 5点で作ることのできる点数とは?

前回の最後に以下のような「可能性」があることを書きました。

もとの問題では「その景品の点数ぴったりで交換することができる3点と5点のコインの枚数の組み合わせ方は何通りですか。」とありますが、そのような組合せがないということも考えられます。

たとえば、3点や 5点より小さい 1点や 2点、4点といった点数は作ることができません。さらに、3点や 5点よりも大きい点数である 7点も作ることができません。すると、他にもいくら組み合わせてもできない点数があってもよさそうです。

 

まずは、具体例から考える

整数問題でよく言われるのは、行き詰ったら具体例から考えることです。

先の文章では「7点」まで考えました。もうちょっと頑張ってみます。

 8点=3点×1枚+5点×1枚

 9点=3点×3枚

 10点=5点×2枚

 11点=3点×2枚+5点×1枚

 12点=3点×4枚

 ・・・

勘のいい人なら「ん?」と気づくかもしれません。8点、9点、10点と 3連続で組合せが作ることができると、あとは自動的にずーっと作られることがわかります。なぜならば、「3点のコインを 1枚ずつ足していけばよい」からです。

ちょっとひねくれて考えれば、8点、9点、10点、11点、12点と 5連続で組合せができれば、5点のコインを 1枚ずつ足していけばよい。とも言えます。

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8点、9点、10点という点数は、ちょっと表現を変えると「3で割ったあまりが、2点、0点、1点」ということもできます。整数に関する証明問題では、3で割ったあまりを用いて場合分けすることがよくあります。

実はこの問題(3点と 5点の組合せ)は、過去に大学入試問題でも出されています。

 

整数問題では、数をいろんなイメージ(単なる数字だったり、長さといった量としてだったり)で見たりして感覚をいかにうまく利用するかというジャンルだと思います。また、表現や示すべき内容をちょっと変えるだけで、小学生向けにも、中学生向けにも、高校生向けにも色が変わる問題なので、なかなか面白いと思います。