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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

数列~その1~

Math

センタ試験前に群数列について書きましたが,もともとの「数列」も結構嫌われ者な印象があるので(わたし自身は好きなんですが),とらえ方・考え方のようなことを書いていきます.

※以下に記す内容は,はじめて数列を学ぶ人というよりは,一度学習したことがある人向けになっています.注意してください

 

等差数列と等比数列

とりあえず,基本となる数列はこの 2つです.等比数列も公比の指数部分だけを見れば等差数列ですし,以下のようにもう少しひねった見方をして「等比数列対数をとれば,等差数列に置き換えられる」ということもできます.

 a_n = a \cdot r^{n-1} に対して,

  \log{a_n} = \log{a} + (n-1) \cdot \log{r}

 \log{a_n} = b_n \log{a} = B \log{r} = R とでも置きなおせば,

  b_n = B + (n-1) \cdot R

と表され,数列:{  b_n }は等差数列になっています.

 

第 n項: a_n にたどり着くまでには,初項に対して

 n-1回だけ公差:dを加え続ける

 n-1回だけ公比:rをかけ続ける

ことになります.これはちょうど植木算(間隔の数を数えること)の考え方と同じです.このように解釈しておけば,公式もさらっと導き出せるのでは?と思います.

 

漸化式

漸化式にはいろいろなパターンが存在します.ただ,これらのパターンの処理方法は「等差数列もしくは等比数列の漸化式の形にするために変形をしている」だけです.そのために,両辺を割ったり,逆数をとったり,対数をとったりなどといった処理を施しているだけです.

もちろん,等差や等比の漸化式に変形しにくいものや,どうやっても変形できない場合もあります.そのような場合には,推定と帰納法を使ったり,一般項の性質(「常に,a[n]< αであることを示せ」というような大小関係を示すところまで)を示す問題であったりします.

 

特性方程式

漸化式の変形の中で「ひそかに」登場する式です.

 a[n+1]= p・a[n]+q (p≠0かつp≠1, q≠0)

という漸化式に対して,α= pα+q特性方程式と呼ぶ.この αを用いれば漸化式は,

 a[n+1]-α= p・(a[n]-α) ・・・(1式)

と変形でき,等比数列の形に持ち込むことができる. 

 

特性方程式は「a[n+1]と a[n]を αに置き換える」ことで得られます.しかし,どちらかというと,「(1式)の形に変形したい(そのような αを求めたい)」という要請から現れたととらえておく方がよいと思います.

 a[n+1]-α= p・(a[n]-α)

 a[n+1]= p・a[n]+(α-p・α)

この右辺の定数項が qに等しいとおいた式が特性方程式になっています.

なぜわざわざこのような説明をするのかというと,隣接 3項間の漸化式の場合も,同じような「要請」から特性方程式を得ることができるからです.

 a[n+2]-α・a[n+1]= β・(a[n+1]-a[n])

 a[n+2]-(α+β)・a[n+1]+αβ・a[n]= 0

これをもとの漸化式:a[n+2]-p・a[n+1]+q・a[n]= 0と比較すると,

 α+β= p

 αβ= q

という 2次方程式の解と係数の関係に相当する関係が得られます.ということで,αと βは

 tの 2次方程式:t^2-pt+q= 0の 2つの解

として得られることになります.この 2次方程式が隣接 3項間の漸化式に対する特性方程式になります.

 

階差数列

数列の中でも嫌われ度 No.1はこれかもしれません(笑).わかりにくいんですよね.公式だけではなく,その「構造」を理解することが大事です.これは図にしないとわかりにくいですね.

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公式は形として覚える必要はあると思います.ただし,公式の右側にも書いたように

  • まずは,n≧ 2のときにしか成り立たないこと.
  • n=1の場合は別途満たされるかどうか確認すること.

を忘れないように.

 

階差数列の公式には Σが登場します.次回は「数列の和」について書こうと思います.