みをつくしのひとりよがり

2022/08/10にブログ名を変えました.仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

数列~その2~

数列の和についてです.Σ記号だけでなく,少々ひねった和についても.

 

いきなりですが,特殊な数列を一つ

取り上げます.一般項が次のように表される数列です.

  a_n = f(n+1) - f(n)

 f(n) nの関数を表しています.有名な例は「部分分数」の問題です.この和は

  \displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k \\ = \{ f(2) - \cancel{f(1)} \} + \{ \cancel{f(3)} - \cancel{f(2)} \} + \{ \cancel{f(4)} - \cancel{f(3)} \} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ + \cdots + \{ \cancel{f(n-2)} - \cancel{f(n-1)} \} + \{ f(n) - \cancel{f(n-1)} \} \\ = f(n) - f(1) }

 

となります.一般項を与えている式の  f(n+1) f(n+2) f(n+3)になると,消える項も変わってきます.先頭と末尾の数項を書き出して,よく観察する必要があります.

部分分数もよく出るものですが,次の公式への前フリでもあります.

 

 \sum記号

とりあえず,公式から

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1次の和(1式)については,ガウスが小学生のときに「1~100の和を即座に求めた」という逸話にもある方法で求めることができます.

  \displaystyle{ 2 \times \sum_{k=1}^n k \\ = \{ 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n \} + \{ n + (n-1) + (n-2) + \cdots +2 + 1 \} \\ = n(n+1) }

と,n+1が n組できることを利用します.

2次の和(2式),3次の和(3式)が曲者です.ここで,先の例を利用します.

  \displaystyle{ k + k^2 = \color{red}{k(k+1)} = \frac{1}{3} \{ k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) \} \\ 2k + 3k^2 + k^3 = \color{red}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{4} \{ k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2) \} }

 

書かれている式自体にすら曲者感がありますが,赤字になっている項がポイントです.

  • 右側:赤字の項を  f(n+1) - f(n)の形にすれば,総和の計算は難しくない.
  • 左側:赤字の項を展開すれば, k, \ k^2, \ k^3で表すことができる.

という二刀流を用いています.実際に「公式を示せ」タイプの問題として,入試問題にも登場しています(ex. 2010年九州大学文系).

 

一般項が(等差数列)×(等比数列)となる数列の和

こちらもいきなり感がありますが,ポイントは「 r倍して引く」です. a_nを等差数列, dをその公差とすると 

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となんだか難しい式が現れました.しかし,あくまでもポイントは  r倍して引いたことで,等差数列が消えるところです. 

このややこしい式で, d = 0, \ a_1 = aとおいてみると,

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と 1行目の  S_n等比数列の和となっていて,導かれた  S_n等比数列の和の公式として与えられています.つまり,等比数列の和の公式も「 r倍して引く」ことで導かれるということです.え!と思った人は,教科書を見直してみてください.そして,この等比数列の和の公式を少し変形すると,
  \displaystyle{ 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \frac{1 - r^n}{1 - r} \\ (1-r) (1+ r + r^2 + \cdots + r^{n-1} ) = 1 - r^n }
 
となり  1 - r^n因数分解できることを表してくれます.因数分解の公式としては書かれていない(または準公式扱い)ことが多いですが,このように覚えておけば堂々と使えるものとなります.
 

 \sumのわな(トラップ)

 \sum記号は公式として使いこなすと便利なものですが,たまに「引っかけ」というか「引っかかる」ような和に出くわすことがあります.
次のような和は計算できますか?答えは次の回に.
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