補足だらけになってますが，対角化を用いた例を挙げておきます．
問題
蜜が付いている2つの棒A，Bがあります．1匹のハチが，どちらかの棒に止まります．棒から飛びった後，再び棒に止まりますが，他方の棒に移る確率は (もといた棒に戻る確率は
)です．ハチがはじめ棒Aに止まっていたとして，
回目の移動の後にそれぞれの棒に止まっている確率を求めなさい．
高校数学的に解くのであれば，棒Aに止まっている確率を ，棒Bに止まっている確率を
として，漸化式を立てて解くことになります．しかし，その漸化式をちょっと書き換えると，
となります．が求められれば，
が求まります．
という文字が入っていますが，幸い固有方程式は簡単に解くことができます．
あとは手順どおりに対角化をおこない，を計算します．ちなみに，行列
の右上と左下の値が等しい(いまの問題であれば，
のところ)とき，固有ベクトルは直交するという性質があります．
とすれば，答えが求まります．
固有ベクトルが「ブレない軸」の方向を与えているので，これらを新たな軸とし，その1次結合で状態を表すという手もあります．
は固有ベクトルの大きさを1にするためにつけたものです．このような表示は量子力学でよく用いられる表現になります．
最後の補足は，こんな方法もありますよ@高校数学．という程度に見てもらえればよいかと思います．自分の整理のためにも，だいぶつらつらと書いてきましたが，改めて1次変換はなかなか奥が深いなと感じました．
