理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

鉛直振り子の問題~棒とひもの違い~

シンプルだけど,それなりに奥が深い問題を扱ってみます.

 

問題

長さ:Rの「棒」または「ひも」の先に,質量:mの球を取り付けた鉛直振り子を考える.最低点にある球へ初速:v0を与え,最高点(高さ:2Rの点)に到達させるとき,必要なv0の条件を求めよ.ただし,棒やひもは非常に軽く,その質量や空気抵抗は無視してよいものとする.

 

「初速を与え,高さ:2Rの地点に到達させる」ととらえれば,力学的エネルギー保存則を考えるのは,とても自然なことだと思います.しかし,それだけでは足りないところが出てきます.その違いを想像できますか?実際の入試問題では,そのような力が試されるところもあると思います.

 

棒のとき

これは単純,力学的エネルギー保存則で解決です.最高点での速さをvtとおくと,力学的エネルギー保存則の式は,以下のようになります.

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vt≧0であることが条件となるので,その条件を満たすv0

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となります.

 

ひものとき

これは単純ではありません.まず,鉛直振り子とは重力が鉛直下向きにはたらく環境で動かすので,等速円運動にはなりません.これは,棒のときも同様です.しかし,その時々(瞬間)では等速円運動をしていると考えてあげます.

なぜ,このようなことを考えるのかというと,ひもの問題の場合「張力」を扱う必要があるからです.先に答えを言ってしまうと,この張力と重力により向心力が得られていると考えます.最高点(の瞬間)における円運動の加速度はvt^2/Rとなるので,運動方程式は,張力をTとして

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となります.T>0であることが条件となり,先の力学的エネルギー保存則と組み合わせることで, 

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となります.棒の時よりも,√5/2≒1.12倍より大きな初速が必要だということになります.

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もうちょっと考察

では,ひものときに,間違って初速v0=√(4gR)(棒のときの最低の速さ)を与えてしまったら,どういう運動をするでしょうか?

最高点まで円運動をするのであれば,その途中でも円運動(半径:Rの円周上を運動する)をしています.しかし,初速不足で途中で円運動を逸脱してしまうはずです.その点はどこになるのかを求めてみます.

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図のように,鉛直上向きの方向から角度θを与えて考えます.先と同じように,動径方向(中心から球に向かう方向)の運動方程式を立てると,

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となり,力学的エネルギー保存則と組み合わせてcosθが満たす条件が以下のように与えられます. ちなみに,θ=0度のときは,上のひものときと一致していますね.

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ここへv0=√(4gR)を代入して,cosθ<2/3という結果を得ます.θ≒48.2度の地点というよりは,最高点からR/3だけ下の点で円運動を逸脱することがわかります.その後は放物運動をおこない,もとの円周に到達すると,また円運動をするという運動になると予想されます.

 

このcosθ=2/3という点ですが,上の図にも書いているように,球面から球が転がり落ちるときに,その球面から逸脱する(飛び出す)点と一致します.立てる式が,運動方程式と力学的エネルギー保存則の式で同じ形になるからです.

 

棒とひもというだけで,これだけの考え方の違いが出てきます.結果からでもいいので,運動の様子を想像してみてください.

 

おまけ(2014/9/20追記)

そもそも,v0の条件を求めよ.という時点で与えられている変数は,長さ:R,質量:mだけです.重力が関係するので,重力加速度:gも必須ですね.ここで次元解析をしてみると,

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となって,v0は√(gR)に比例したものになることが推測できます.

 

おまけというよりも補足(2014/9/30追記)

たびたびの追記です(苦笑).当然のことながら,円運動を逸脱する点は,球に与えた初速の大きさによって変わります.その位置を与えるパラメータがθなわけですが,θが90度よりも大きくなったときはどうなるか?という話です.

式の上でいじってみると,次のようになります.

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cosθ<0となっているところがポイントです.つまり,θが90度よりも大きいところでは,円運動から逸脱することはない.ということがわかります.式をいじる前に,図で考えた人は物理的な見方ができている人かもしれません.水平より下の部分で揺れている分には,円運動を逸脱することはありませんよね.式の上からもそのことが示されているということです.