受験生のみなさんは，一息ついているところでしょうか？あまり，息を抜きすぎると体調を崩してしまうかもしれないので，注意してくださいね．
まだ，多くの大学の問題はWeb公開まで至っていませんが，その中で注目したのは東京大学前期理系数学第5問です．ざっと目を通した中で「おっ？」と目を引いたものです．ここでは，一会社員が答えを導くまでの過程を朝の通勤電車，お昼休みと段階を追って記してみます．備忘録的な意味もあります．
問題は，以下のとおり．
を
以下の正の整数とする．
が偶数となる最小の
を求めよ．
こういうシンプルな問題は，糸口となるヒントを見つける楽しみもあるので好きです．
朝の通勤電車(15分)
整数問題の定番といえば「まずは具体例で」ということで，mを1，2，3，と代入してみます．まあ，素因数2はきれいに消えます．
順番が前後しましたが，問題を読んだ時点で「分子に素因数2が残ること」が条件であり，どこで分子に含まれる素因数2の個数が，分母に含まれる素因数2の個数を上回るのか？を探し当てるということは理解できていました．というか，そういう問題ですよね(笑)．
ここで，の「構造」を考えることにしました．ちょっと大げさな言い回しですが，具体的に書くと
のどちらの表現で考えるのがいいのだろうか？ということです．やはり，素因数2が約分されて消えていく様子を考えるのであれば，下の表現だろうと．
もし素因数2の個数をmの式で書き表すことができれば，ちょろっと方程式を立てる方向でmは求められます．でも，mの式で書き表すなんて，到底できません．
そして，倍数の個数ではなく，素因数の個数を考えなければならないので，4の倍数も8の倍数も・・・と数え上げていく必要があります．と，きたところで，頭の中に「1024=2^10」という数字が浮かびました．これは，2015までの自然数の中で現れるもっとも大きな2^nになります．さらに，この1024を頂点とする三角形も現れました．その三角形の底辺の片方は1，もう片方は2047になります．
ん？もしかして，2015～2047に含まれている素因数2の個数を考えれば何かヒントになる？なるかも！というところで，最寄り駅に到着．思考も一度途中下車することになりました．
お昼休み(20分)
お昼を食べて，眠くなるところで思考再開です．2015～2047に含まれる素因数2の個数を調べるために，2^nの倍数を数え上げると以下のようになります．
32=2^5の倍数は，1個
16=2^4の倍数は，1個
8=2^3の倍数は，2個
4=2^2の倍数は，4個
2の倍数は，8個
よって，2016×・・・×2047に含まれる素因数2は31個あることになります．ここで出てきた31という数字．31=32-1．32といえばちょうど32=2047-2015・・・，「あ！」と，ここでひらめきました．p進法のところでも書きましたが，IT系の仕事をしていると2進法の数字に何かと敏感になります．そのバックボーンが，このひらめきを与えてくれたことになります．*1
上の図のように，mを大きくしていくと，分母は1から順に素因数2を取り込んでいき，分子は2015から下がっていきながら素因数2を取り込んでいきます．一見，取り込み具合が違うように見えるのですが，実は途中まで(m=31まで)は，同じペースで取り込まれていきます．それゆえ，約分されて消えていくわけです．
ところが，m=32になったとき，分母は1～32の積ですが，分子は2015-32+1=1984から2015までの積となり，1984は64の倍数にもなっています．ここで分母と分子に「ズレ」が発生したことになります(2015/2/28：下の補足に，その様子を記しました)．そのズレの原因は，先に挙げた2015~2047の部分だったわけです．というわけで，答えは32であることがわかりました．
感想
大手予備校さんの問題分析を見ると，「2進法を知らないと無理」のようなコメントもありました．確かに，バックボーンとしては知らないと難しいように思います．「31」と「32」からひらめきを得たのも，まさに2進法からです．先に書いた2015～2047に含まれる2^nの倍数を探すところも，2進法で考えれば
11111(2)=31(10)*2
とすぐに求められることもわかります．
そしてこの問題，2015年だから出したというよりも，2015年まで待っていたのでは？という気がしてなりません．なにせ，2015(10)＝11111011111(2)ですからね．
メモと言いながらわざわざ図を描いていますが，わたしの中では何かと図示(グラフ化)できないかをよく考えています．仕事でも，文字化するよりも図示することで考えていることが多いです．大きな数を扱うような整数問題の場合であれば，その構造を理解するために，倍数などの「分布」を考えて図を用いるのは有効だと思います．*3
まあ，ここまでで35分かかっているわけで，これから解答をまとめて記述することを考えると，この問題だけで1時間ぐらいはかかってしまうことになります．もう受験するわけではないので，じっくり解ければいいかって本人は納得してます(笑)．
補足(2015/2/28)
素因数2の分布をもう少し具体的に図示したものを出しておきます．点1つが素因数2 1つを表しています．たとえば，m=16のとき，点は縦に4つ並んでおり2^4であることを示しています．
こうやって描くと，「2の倍数が2つ集まって，4の倍数パック(かたまり)」ができ，「4の倍数パックが2つ集まって，8の倍数パック」ができ・・・というように，パターンの繰り返しになって，分布が現れる様子が見えるかと思います．*4
すると，赤い点(64=2^6)の素因数1つがあまることが見えてきます．
また，この分布の様子から，は，mの値によらず必ず奇数になることもわかります．(ずっと約分されていくから)
*1:2015/2/28追記：直接答えを与えてくれたというよりは，補足に描いたような「パターン」があることに気づかせてくれたという方が正しいです．そういう意味では，2015という数字自体がパターンへのヒントになっている感じですね
*2:2進法表記を(2)，10進法表記を(10)と表すことにします．
*3:今回挙げている図は，ほんとうにざっくりとしたイメージ図なので，あまり参考にしない方がいいのかもしれません．ただ，こういうイメージを持てると全体像から理解できるのではないかと思います．
*4:このパターンに対するイメージは，わたしの頭の中では「フラクタル図形(自己相似形)」とかぶっています．2015/5/4：図を描きなおしました
