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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

ガウス記号のおまけ~その1~

Math

せっかくなので,ガウス記号の問題を2題ほど解説してみたいと思います.

問題1

次の和を求めよ.
f:id:miwotukusi:20150702000632p:plain

解答1

こういう問題は,試行錯誤をいろいろしてみて道筋を見つけることが大事です.ここはベタに和を書き下してみます.
f:id:miwotukusi:20150702000642p:plain

赤字のところが「境界」となり,そこまでは同じ値が続く形となります.言い換えると,数列:a_n= [ \sqrt{n} ]は,群数列のような数列だということです.このようにとらえなおすと,「1つの群(同じ値が続くかたまり)に,いくつの数が含まれているのか」を数えればいいことがわかります.

ここまで話を展開できれば,8割はできたも同然です.上で書いていることを具体的にして
 「第k群(\left[ \sqrt{k^2} \right]から\left[ \sqrt{ \{(k+1)^2-1 \} } \right])には,いくつの項が含まれているか」
と言い換えることで,\{ (k+1)^2-1 \} - k^2 + 1 = 2k+1項が含まれるとわかります.

よって,求める和は「第k群には,値kが2k+1個ある」ことを用いて,
f:id:miwotukusi:20150702000654p:plain
となります.*1

第k群に含まれる項数を計算していますが,逆に「1から順に奇数を加えると,平方数になる」という四角数の知識があると,上記の内容は比較的すんなり導けるのかな?と思ったりもします.


もう1問は,次回に.もう少し濃い目のものを扱います.

*1:項が「そろっている」のは,第n-1群までで第n群には「nが1つ」しかないことに注意.また,左辺の kと右辺の kは別物であることにも注意.