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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

蚊取り線香のうず巻き~その2~

Math

前回の最後に触れていた「疑問」ですが,わたしは以下のようなものが出てきました.

  • まきが1周や2周だった場合,中間地点の位置はどうなるのか.なにか規則性のようなものは見つかるのか?
  • アルキメデスの螺旋以外に,蚊取り線香のまきを表せるような図形はあるのか?

中間地点の位置に規則性はあるのか?

まあ,数値計算になってしまうので,その結果を示すと下のようになります.ついでに,まき全体の長さについても計算しています.
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表中にもあるとおり,階差を計算してみると,何回かとったところで一定値を示すようになりました.どうも,中間地点は,一定の角度でもって回転させていけば,おおよその位置を知ることができそうです.ちなみに,「一定の角度」は約255度になっています.

階差数列については,以前に数列一番の嫌われ者のごとく書きました.階差数列が一定の値になるとは,どのようなことを表しているのか,「評価」してみましょう.
1回階差をとったものが一定の値になるということは,単にもとの数列は等差数列になっていることを表しています.
さらに,全長のように,2回階差をとったものが一定の値になるということは,もとの数列がまき数の2次式として与えられることを意味しています.ちょこっとΣ計算をしてみれば,確認できます.

そこで,実際にどうなのかをグラフにしてみました.
f:id:miwotukusi:20150803192200p:plain

さらに,\varphiがある程度大きな値をとったとして(たとえば,1+\varphi^2 \simeq \varphi^2としてしまう),値を評価してみると,
f:id:miwotukusi:20150801130431p:plain

のように,2次の関数として評価できる様子もうかがうことができます.

2015/8/3追記

\displaystyle{ L(\varphi) = \frac{1}{2} \varphi^2 }で近似できるのなら,そのままそれを用いて計算してもよいはず.というわけで計算してみると,n周したときの角度:2n \piに対して,中間地点は 2n \pi/\sqrt{2}0.7 \times 2n \piと与えられます.外側の端から見れば,全角度の約3割進んだところで中間地点に到達することになります.
合わせて,上の L(\varphi)のグラフに,\displaystyle{ \frac{1}{2} \varphi^2 }のグラフを追記しました.

蚊取り線香のうず巻きを表す図形

アルキメデスの螺旋が,蚊取り線香を表すのにもっともらしいことを一つ示してみます.そのために,もとの螺旋を180度ずらした図形を考えてみます.ちょうど缶に入っているときの様子を表してくれます(グラフの線をもうちょっと太く描ければ,もっともらしく見えるのですが).
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似たような曲線として,インボリュート曲線というものがあります.インボリュート曲線は,(x,y)=(\cos{\theta}+\theta \sin{\theta},\sin{\theta}-\theta \cos{\theta})と表される曲線です.似ている様子を描いてみると.
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ほぼほぼ同じ(重なっている)ですが,中心部分で違いが現れています.インボリュート曲線は「糸巻き曲線」ともいうべき曲線であり,同じ「巻きもの」でも少し違ったものになっています.


これだけで,蚊取り線香の螺旋がアルキメデスの螺旋であると断定はできません.でも,「いい形」であることには間違いないと思っています.
インボリュート曲線なんかは,先におもりをつけて鉛直振り子のごとく,円運動もどきをさせてみると面白いかもしれませんね.