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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

【小問】の解答

先日のネタ*1*2に書いた【小問】2問の解答です.いつものごとく,細かい計算は略しています.

【第1問の小問】

問題:円周をn等分する点から異なる3つの点を選ぶとき,それらを結んでできる三角形が鋭角三角形となる確率を求めよ.ただし,nは自然数とする.
まず,n=1, 2, 3まではすぐに答えが出ますね.n=4も簡単ですね.「1等分」という言い方も変ですが,「n」がどのような数として定義されているのか,問題文をきちんと読むことも大事なことです.
次に,分母は「n個の点から異なる3つの点を選ぶ」わけですから, _n C_3です.

ここからが本題です.円周上の点を扱う問題では,1つの点を固定して考えることが多いです.円順列なんかもそうですよね.ここでも,

  • 1つ目の点をまず固定します.わかりやすいように,点P_0を1つ目の点としておきましょう.
  • 次に,2つ目の点を選びます.とりあえず,点P_kとします.
  • こうすると,3つ目の点がどこにあれば,鋭角三角形になるかがわかります.

となりますが,ちょっと流れを巻き戻します.というのは,2つ目の点を選ぶときに「分岐点」が存在するからです.どのような「分かれ目」かというと,
 「3つ目の点をどこに選んでも,鋭角三角形を作ることができない場合がある」

というものです.下の図を見ないで,考えてほしいところです.

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(わからない人は,ちょっと考えてネ!という行間です)

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鋭角三角形ではないということは,鈍角三角形か直角三角形かであるということです.そうです,どうやっても直角三角形にしかならない場合があります.それは,点P_0のちょうど反対側に点P_kがとられるときです.このような点をとることができるのは,nが偶数のときに限られます.というわけで,nが偶数か奇数かで場合分けが必要であることがわかります.以降,n=2mとn=2m-1(mは m≧2を満たす自然数)とします.

あとは,点P_0を含む円の直径と点P_kを含む円の直径とを考えることで,鋭角三角形を与える3つ目の点を決めることができます.
f:id:miwotukusi:20160219234700p:plain

たとえば,n=2m(偶数)のときであれば,

  • 3つ目の点は,点P_{m+1}から点P_{k+m-1}にあるk-1個の点となります.
  • 上で定義していませんでしたが,わかりやすいように1≦ k≦ m-1としています(点P_0から見て,右半分のイメージ).そして,m+1≦ k≦ 2m-1のとき(左半分にあたる部分)にできる鋭角三角形は,すでに1≦ k≦ m-1のときに数え上げられているので考える必要はありません.
  • 1≦ k≦ m-1に対して,それぞれに k-1個存在するものを足し上げるわけですから,\displaystyle{ \sum_{k=1}^{m-1} (k-1) = \frac{(m-2)(m-1)}{2} }
  • さらに,1つ目の点もP_0から点P_{2m-1}までぐるっと回していきます.これは単純に2m倍するだけです.が,このようにグルグル回して数え上げるときには,必ず「重複」して数えてしまうことに注意しなければなりません.よって,最後に3で割ります.

よって,nが偶数のときは,
 \displaystyle{ \frac{(m-2)(m-1)m}{3} = \frac{(n-4)(n-2)n}{24} }

個の鋭角三角形を作ることができます.

同様にして,nが奇数のときには,
 \displaystyle{ \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{24} }

となります.mのままでも構いませんが,確率を求めるので,nに書き戻しています.

最終的に,求める確率:p_nは次のようになります.

 \displaystyle{ p_n = \begin{cases} 0 \ (n=1,\ 2) \\ \\ \displaystyle{ \frac{n+1}{4(n-2)} \ (nは3以上の奇数) } \\ \\ \displaystyle{ \frac{n-4}{4(n-1)} \ (nは4以上の偶数) }  \end{cases}  }

n=3や n=4のときも,奇数,偶数の場合の式に当てはまるので,まとめてしまっています.意外と簡単な答えになったので,自分でもちょっとびっくりな感じです.

【第4問の小問】

問題:この群数列の「第p群の第q番目」となる点の座標を表しなさい.
第p群は,

  • 「x座標とy座標の和がp+1になる」と書いてあり,
  • x座標は,1からpまでのp個の値をとり得る.つまり,p個の要素を持っている.

ということから,至極単純です.答えだけ,以下に記しておきます.
 \displaystyle{ \left( \frac{(p-1)p}{2}+q, \ p-q+1 \right) }