【小問】の解答 - みをつくしのひとりよがり

先日のネタ*1 *2に書いた【小問】2問の解答です．いつものごとく，細かい計算は略しています．

【第1問の小問】

問題：円周を $n$ 等分する点から異なる3つの点を選ぶとき，それらを結んでできる三角形が鋭角三角形となる確率を求めよ．ただし， $n$ は自然数とする．
まず， $n=1, \ 2, \ 3$ まではすぐに答えが出ますね． $n=4$ も簡単ですね．「1等分」という言い方も変ですが，「 $n$ 」がどのような数として定義されているのか，問題文をきちんと読むことも大事なことです．
次に，分母は「 $n$ 個の点から異なる 3つの点を選ぶ」わけですから， $_n C_3$ です．

ここからが本題です．円周上の点を扱う問題では，1つの点を固定して考えることが多いです．円順列なんかもそうですよね．ここでも，

1つ目の点をまず固定します．わかりやすいように，点 $P_0$ を1つ目の点としておきましょう．

次に，2つ目の点を選びます．とりあえず，点 $P_k$ とします．

こうすると，3つ目の点がどこにあれば，鋭角三角形になるかがわかります．

となりますが，ちょっと流れを巻き戻します．というのは，2つ目の点を選ぶときに「分岐点」が存在するからです．どのような「分かれ目」かというと，
　「3つ目の点をどこに選んでも，鋭角三角形を作ることができない場合がある」

というものです．下の図を見ないで，考えてほしいところです．

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(わからない人は，ちょっと考えてネ！という行間です)

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鋭角三角形ではないということは，鈍角三角形か直角三角形かであるということです．そうです，どうやっても直角三角形にしかならない場合があります．それは，点 $P_0$ のちょうど反対側に点 $P_k$ がとられるときです．このような点をとることができるのは，nが偶数のときに限られます．というわけで，nが偶数か奇数かで場合分けが必要であることがわかります．以降， $n＝2m$ と $n＝2m-1$ ( $m$ は $m \geqq 2$ を満たす自然数)とします．

あとは，点 $P_0$ を含む円の直径と点 $P_k$ を含む円の直径とを考えることで，鋭角三角形を与える3つ目の点を決めることができます．

たとえば， $n＝2m$ (偶数)のときであれば，

3つ目の点は，点 $P_{m+1}$ から点 $P_{k+m-1}$ にある $k-1$ 個の点となります．

上で定義していませんでしたが，わかりやすいように $1 \leqq k \leqq m-1$ としています(点 $P_0$ から見て，右半分のイメージ)．そして， $m+1 \leqq k \leqq 2m-1$ のとき(左半分にあたる部分)にできる鋭角三角形は，すでに $1 \leqq k \leqq m-1$ のときに数え上げられているので考える必要はありません．

$1 \leqq k \leqq m-1$ に対して，それぞれに $k-1$ 個存在するものを足し上げるわけですから， $\displaystyle{ \sum_{k=1}^{m-1} (k-1) = \frac{(m-2)(m-1)}{2} }$

さらに，1つ目の点も $P_0$ から点 $P_{2m-1}$ までぐるっと回していきます．これは単純に $2m$ 倍するだけです．が，このようにグルグル回して数え上げるときには，必ず「重複」して数えてしまうことに注意しなければなりません．よって，最後に3で割ります．

よって， $n$ が偶数のときは，
　 $\displaystyle{ \frac{(m-2)(m-1)m}{3} = \frac{(n-4)(n-2)n}{24} }$

個の鋭角三角形を作ることができます．

同様にして， $n$ が奇数のときには，
　 $\displaystyle{ \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{24} }$

となります． $m$ のままでも構いませんが，確率を求めるので， $n$ に書き戻しています．

最終的に，求める確率： $p_n$ は次のようになります．

　 $\displaystyle{ p_n = \begin{cases} 0 \ (n=1,\ 2) \\ \\ \displaystyle{ \frac{n+1}{4(n-2)} \ (nは3以上の奇数) } \\ \\ \displaystyle{ \frac{n-4}{4(n-1)} \ (nは4以上の偶数) } \end{cases} }$