理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

曲がったことはお嫌いですか?~曲率~

まだまだ暑くて,体がだるーんと曲がってしまいます.今日は,曲率です.高校数学ではまず扱わない分野ですね.でも,微分の知識があれば,定義も計算もできる内容なので難しくはないと思います*1

130R

と聞くと,お笑いコンビ(最近は揃ってみることは,まずないですけど)か,鈴鹿サーキットの高速コーナーですね*2.高速道路でも,「R=〇〇m」と書かれた標識を見たことがあると思います.
で,これは「半径130mの円弧ですよ」ということを表しており,半径が小さいほど曲がり方が大きいということになります.ちょっと地図を拝借してやってみると,下図のとおり.

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円の1/5~1/6ぐらいがカーブ区間と重なっているようです.

このように,曲線をところどころで見ていくと「曲がり具合」というものが違ってきます.それを定量化したものが「曲率」や「曲率半径」と呼ばれるものになります.

曲率の定義

曲線 C上に定点 Pと,その近くの点 Qをとる.それらの点における接線が x軸となす角をそれぞれ \theta\theta + \Delta \thetaとする.曲線の弧 PQの長さを \Delta sとするとき,\displaystyle{ \frac{\Delta \theta}{\Delta s} }は接線の傾きの平均変化率を表している.この量に対する極限
 \displaystyle{ \kappa = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} = \frac{d \theta }{ds} }

を点 Pにおける曲線の曲率( \kappa)といい,その逆数を曲率半径(\rho)という.また,その円の中心を曲率中心と呼ぶ.

図もつけておきます.

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曲率半径は曲率の逆数ということなので, \displaystyle{ \frac{ds}{d \theta} }と表されます.分子は曲線の長さの微小変化,分母は角度の微小変化です.もっとざっくり書けば,(長さ)÷(角度)という量であり,次元で見ても,きちんと長さの量であることがわかります*3

さらに,曲率半径について  ds = \rho d \thetaという式は,円弧の長さを与える式  \ell = r \thetaと同じ形になっています.

先の図の右半分に,極座標系での関係を描いています.極座標系にも「中心」となる点(すなわち原点)がありますが,あくまでも円弧として見ることができる点,もう少し言えば「半径」が等しくなるような点が曲率中心であって,原点とは必ずしも一致しません.

この後,この定義からゴニョゴニョして*4,曲率を与える公式が導かれるのですが,そこはネット上でもいろいろと書かれているので,結果だけ以下に.

曲率半径の式

曲線の方程式が,媒介変数を用いて  x=x(t), \ y=y(t)と表され, x''(t)および  y''(t)が連続なとき,曲線上の tにおける曲率半径は,以下の式で与えられる.
  \displaystyle{ \rho = \frac{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}{x'y'' - x''y'} \ \ \ (x'y'' - x''y' \neq 0)}

ここでの「'(dash)」は,媒介変数 tでの微分を表しています.
ちょっとズルいという感じではありますが,x=ty=f(t)=f(x)と見てあげれば,
  \displaystyle{ \rho = \frac{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}{y''} \ \ \ (y'' \neq 0)}

という式も与えられます.

試すのであれば,それこそ「円」の式を当てはめてみるといいですね. x= \cos{t},\ y= \sin{t}という感じです.円をやったら,楕円をやってみるというのもいいかもしれません.


次回は,これを使ってちょっと昔のネタに挑戦してみようと思います.

*1:とはいえ,定義を導く段階で範囲を超えるところがあります.

*2:お笑いコンビの130Rもこのコーナーから取った名前なので,語源としてはいっしょ.

*3:角度は無次元でしたね.次元を超えた世界へ?(次元解析) - 理系男子の独り善がり

*4:このゴニョゴニョで高校数学の範囲を超えるところが少しあります