曲がったことはお嫌いですか？～曲率～ - みをつくしのひとりよがり

まだまだ暑くて，体がだるーんと曲がってしまいます．今日は，曲率です．高校数学ではまず扱わない分野ですね．でも，微分の知識があれば，定義も計算もできる内容なので難しくはないと思います*1．

130R

と聞くと，お笑いコンビ(最近は揃ってみることは，まずないですけど)か，鈴鹿サーキットの高速コーナーですね*2．高速道路でも，「R=〇〇m」と書かれた標識を見たことがあると思います．
で，これは「半径130mの円弧ですよ」ということを表しており，半径が小さいほど曲がり方が大きいということになります．ちょっと地図を拝借してやってみると，下図のとおり．

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円の1/5～1/6ぐらいがカーブ区間と重なっているようです．

このように，曲線をところどころで見ていくと「曲がり具合」というものが違ってきます．それを定量化したものが「曲率」や「曲率半径」と呼ばれるものになります．

曲率の定義

曲線 $C$ 上に定点 $P$ と，その近くの点 $Q$ をとる．それらの点における接線が $x$ 軸となす角をそれぞれ $\theta$ ， $\theta + \Delta \theta$ とする．曲線の弧 $PQ$ の長さを $\Delta s$ とするとき， $\displaystyle{ \frac{\Delta \theta}{\Delta s} }$ は接線の傾きの平均変化率を表している．この量に対する極限
　 $\displaystyle{ \kappa = \lim_{\Delta \theta \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} = \frac{d \theta }{ds} }$

を点 $P$ における曲線の曲率( $\kappa$ )といい，その逆数を曲率半径( $\rho$ )という．また，その円の中心を曲率中心と呼ぶ．

図もつけておきます．

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曲率半径は曲率の逆数ということなので， $\displaystyle{ \frac{ds}{d \theta} }$ と表されます．分子は曲線の長さの微小変化，分母は角度の微小変化です．もっとざっくり書けば，(長さ)÷(角度)という量であり，次元で見ても，きちんと長さの量であることがわかります*3．

さらに，曲率半径について $ds = \rho d \theta$ という式は，円弧の長さを与える式 $\ell = r \theta$ と同じ形になっています．

先の図の右半分に，極座標系での関係を描いています．極座標系にも「中心」となる点(すなわち原点)がありますが，あくまでも円弧として見ることができる点，もう少し言えば「半径」が等しくなるような点が曲率中心であって，原点とは必ずしも一致しません．

この後，この定義からゴニョゴニョして*4，曲率を与える公式が導かれるのですが，そこはネット上でもいろいろと書かれているので，結果だけ以下に．

曲率半径の式

曲線の方程式が，媒介変数を用いて $x=x(t), \ y=y(t)$ と表され， $x''(t)$ および $y''(t)$ が連続なとき，曲線上の $t$ における曲率半径は，以下の式で与えられる．
　 $\displaystyle{ \rho = \frac{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}{x'y'' - x''y'} \ \ \ (x'y'' - x''y' \neq 0)}$

ここでの「 $'$ (dash)」は，媒介変数 $t$ での微分を表しています．
ちょっとズルいという感じではありますが， $x=t$ ， $y=f(t)=f(x)$ と見てあげれば，
　 $\displaystyle{ \rho = \frac{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}{y''} \ \ \ (y'' \neq 0)}$