通分の計算～分数計算の「あるある」から～

久しぶりすぎて，どんな風に書き出せばいいのか？という感じで書き始めています．
小学生がよくする通分の計算間違いから，ちょっと話を膨らませてみます．

「足してしまう」計算間違い

見てもらう方が早いですね．こういうやつです．
　 $\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5} }$

分母も分子もそれぞれ足してしまう計算間違いです．
言わずもがなですが，正しくは
　 $\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} }$

$\displaystyle{ \frac{2}{5} < \frac{5}{6} }$ となりますが，いつもこうなるのか？という話です．
つまり，
　「分母・分子をそれぞれ足してしまう間違いをしたとき，必ず正しい答えよりも小さくなってしまうのか？」

ということです．

ここからは高校数学

$a, \ b, \ p,\ q$ はそれぞれ 1より大きい自然数であるとします．
「間違い」をしたときの計算結果は，
　 $\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{p}{q} = \frac{a+p}{b+q} }$

正しい計算結果は，
　 $\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{p}{q} = \frac{aq+bp}{bq} }$

この 2つの大小比較になります．単純に引き算をしてみると，
　 $\begin{align} \frac{aq+bp}{bq} - \frac{a+p}{b+q} &= \frac{(aq+bp)(b+q)-bq(a+p)}{bq(b+q)} \\ &= \frac{b^2p+aq^2}{bq(b+q)} \end{align}$

となって，この引き算はつねに正であることが示されました．
というわけで，上の推測は正しいことがわかりました．

これで終わりにはしません

2つの結果の分母にちょっと注目してみます．間違いの結果の分母は $b+q$ ，正しい結果の分母は $bq$ と，当然のことながら和と積の違いになります．これらの大小関係はどうなりますか？という話です．
2つの正の数の和と積の大小関係というと，おなじみの「相加・相乗平均の関係」がありますね．
　 $\displaystyle{ \frac{b+q}{2} \geqq \sqrt{bq} }$