理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

ちょっと面白い積分

たまたま見かけた問題です.なかなか面白いと思うので載せておきます.
※すいません,TeXをゴリゴリ書いてしまったので表示が重いかもしれません.

問題

 xの小数部分を  \langle x \rangleと表すとき,次の値を求めよ.
  \displaystyle{ \int_0^2 \langle x^2 \rangle dx }

「小数部分」となっていますが, \langle x \rangle = x - [ x ] ガウス記号の問題に置き換えられます.過去にも何回かガウス記号に関するネタを書いていますが*1,「計算する」というよりも「その意味を考える」という方が解きやすくなります.
いまの場合であれば, x^2が「0と1の間をとるとき」「1と2の間をとるとき」…というように推移するイメージが持てればOKです.

ちなみに, y = \langle x^2 \rangleのグラフは, xが大きくなるにつれて目の間隔が小さくなるノコギリのような概形になります.


というわけで,

解答

  \begin{align}  &\int_0^2 \langle x^2 \rangle dx \\
&= \int_0^2 \left( x^2 - [ x^2 ] \right) dx \\ 
&= \int_0^2 x^2 dx - \left\{ \int_0^1 [ x^2 ] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [ x^2 ] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [ x^2 ] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [ x^2 ] dx \right\} \\
&= \int_0^2 x^2 dx - \left\{ \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx \right\} \\
&= -\frac{7}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 0.812931 \end{align}

となります.

オマケの発展形というか一般形

 \begin{align}  &\int_0^n \langle x^2 \rangle dx \\ 

&=  \int_0^n \left( x^2 - [ x^2 ] \right) dx \\ 

&= \int_0^n x^2 dx - \int_0^n [ x^2 ] dx \\ 

&= \int_0^n x^2 dx \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ - \left\{ \int_0^1 [ x^2 ] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [ x^2 ] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [ x^2 ] dx + \cdots + \int_{\sqrt{n^2-1}}^n [ x^2 ] dx  \right\} \\ 

&= \int_0^n x^2 dx \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ - \left\{ \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \cdots + \int_{\sqrt{n^2-1}}^n (n^2-1) dx  \right\} \\ 

&= \frac{n^3}{3} - \Bigl\{ \left( \sqrt{2} - 1 \right) + 2 \cdot \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right) \Bigr. \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Bigl.+ 3 \cdot \left( \sqrt{4} - \sqrt{3} \right) + \cdots + (n^2-1) \cdot \left( n - \sqrt{n^2-1} \right) \Bigr\} \\ 

&= -\frac{2}{3} n^3 + n + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{n^2-1} \\

&= -\frac{2}{3} n^3 + n + \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{k} \end{align}


下から3行目の和については,数列で一般項が  a_n = f(n)-f(n+1)の形に表されるときの総和の求め方に似ています.
  \begin{align} \sum_{k=1}^n a_k &= \left( f(1)-f(2) \right) + \left( f(2)-f(3) \right) + \cdots + \left(  f(n)-f(n+1) \right) \\ &= f(1)-f(n+1) \end{align}