ケーキのわけわけ～ものさしを使わずに分割～

クリスマスも近いので，いまどきの言い方だとライフハック的なネタです．
ロールケーキや四角いケーキ(正方形)，丸いケーキ(円形)を分割することを考えていきます．タイトルにもあるように，「ものさし」を使わないで分割することを考えていきます．

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ロールケーキ

巻いていなくてもいいのですが，細長いケーキを考えます．(上の図のa)
細長いので，横の長さを等分できればいいわけです．「ものさし」の代わりに，「折りたたんだ細長い紙」を使います．
3人で分けたい場合は，下の図のようにします．
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これを数学的(？)な表現をすると，以下のような手順になります．

$N$ 人で分割するとき，
紙を $k$ 回折って， $2^k \geqq N$ となるようにする．
折った紙の $\displaystyle{ \frac{N}{2^k} }$ の部分を使うことで，長さを分割する．

ここで細長い紙の長さについて考えてみます．ケーキの横の長さ(分けたい長さ)を $L$ ，ケーキの縦の長さを $D$ ，細長い紙の長さを $a$ とすると， $\displaystyle{ \frac{N}{2^k} }$ の部分の長さが横の長さ以上対角線の長さ以下でないと困るので，
　 $\begin{eqnarray} L &\leqq& \frac{N}{2^k} \cdot a &\leqq& \sqrt{L^2+D^2} \\ \frac{2^k}{N} \cdot L &\leqq& \ \ \ \ a &\leqq& \frac{2^k}{N} \sqrt{1+\left( \frac{D}{L} \right)^2 } \cdot L \end{eqnarray}$

という条件が必要になります．短すぎると寸足らずになりますし，長すぎると目盛りがはみ出すことになります．
3人で分割するときであれば， $k=2$ であるので，
　 $\displaystyle{ \frac{4}{3} \cdot L \leqq a \leqq \frac{4}{3} \sqrt{1 + \left( \frac{D}{L} \right)^2} \cdot L }$

となる長さの紙を用意しなければならないということになります．こうなると，「ものさし使った方が早いわい！」となりそうですが．(笑)

正方形のケーキ

上のロールケーキは，実際は上から見ているので長方形の分割になっています．そこで， $L=D$ とすれば正方形のケーキを考えることになります．
正方形状のケーキになると，側面に塗られたクリームも気になりますよね．となると，ロールケーキのように分けてしまうと，真ん中の人だけ側面のクリームが少なくなってしまいます．
そこで，以下のように考えます．

上の方法を使って，縦も横もそれぞれ長さを $N$ 等分します．ロールケーキのときは，ものさしは 1回しかあてていませんが，少しずらして印をつければ，平行な等分線を引くことができます．
周の長さが $4N$ 等分されているので，等分された目盛りを 4つずつとります．
2.で選んだ点と，正方形の中心を切り分けていくと，上面の面積も側面の面積も均等に分けることができます．

最後のところで，何気に以下の性質を使っています．
「三角形の面積比は，高さが同じならば，底辺の長さの比になる」

正方形という正多角形であるがゆえに，重心(内接円の中心)と辺との距離(高さ)は一定になっているところがポイントになっています．なので，正五角形でも正八角形でも周の長ささえ等分できれば，きれいにわけることができるのです．

円形のケーキ

先月書いた円と正多角形のネタ*1を思い出してもらうと，正多角形の行き着く先が円なので，円周さえ均等に分割できればきれいにわけることができるのです．
とわかっていても，「その円周を均等に分割するのが難しいんやん！」というのが円です．
たとえば，円形のケーキを 7人で分けるとするとどうしますか？ $360^\circ \div 7 \approx 51.4$ って測ろうにも分度器なしでは無理ですよね．
ここで，ロールケーキのときに使った方法を応用します．角度を分割するわけなので…