理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

「疎密波の密度変化が変位の微分で与えられること」の備忘録

大阪大の問題*1の延長戦です.2018/01/12の追加資料 6ページ目に書かれている以下の内容についてです.
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微分」といってるぐらいですから

微小区間で考えることにします.また,密度「変化」を考えるので,「もとの密度(疎密波が到達する前の密度)」と「疎密波により変位が生じたときの密度」を比較することになります.大阪大は進行方向を  y軸としていましたが,いまは  x軸をとることとします.*2
そして,微小区間 x \sim x+\Delta xにある円筒*3を考えます.
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図の補足: \Delta xは微小なので青の円柱とオレンジの円柱は重なっているはずだが,わかりやすくするため重ならないように描いている.

変位を与える関数を  f(x,t)とすれば,それぞれの点の位置は以下のようになります.

  •  xは, x+f(x, t)に移動し,
  •  x+\Delta xは, x+\Delta x + f(x+\Delta x, t)に移動する.

移動してもその区間にある媒質の質量は変わらないので(「幅」が変わることで密度が変わる),
  \begin{align} \rho_0 \cdot \Delta x \cdot S &= \rho \cdot \left( \{ x + \Delta x + f(x+\Delta x, t) \} - \{ x + f(x, t) \} \right) \cdot S \\ \rho_0 &= \rho \cdot \left( 1 + \frac{f(x + \Delta x, t) - f(x, t)}{\Delta x} \right) \end{align}

ここで, \Delta x \rightarrow 0とすると,密度: \rhoは位置  xにおける密度となり  \rho(x, t)と表すことができます.そして,微分の定義をあてはめると,
  \displaystyle{ \rho_0 = \rho(x, t) \cdot \left( 1 + \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \right) }

偏微分の記号  \partialは高校数学では出てこないのですが,いまの話であれば「 x以外の変数は定数扱いにしますよ」と見てあげればいいです.
 \displaystyle{ \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} }が微小量であるとして,近似式: (1+z)^n \approx 1 + nz\ (z \ll 1)を用いると,
  \displaystyle{ \rho(x, t) = \rho_0 \cdot \left( 1 + \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} \right)^{\color{red}{-1}} = \rho_0 \cdot \left( 1 \color{red}{-} \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \right) }

となり,密度「変化」は
  \displaystyle{ \rho(x, t) - \rho_0 = -\rho_0 \cdot \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} }

と変位の微分に比例する結果が得られました.


「物理は(ある程度は)式を用いて考えることをしないと理解できない学問だな」と改めて感じさせられる内容でした.となると,縦波は高校物理では扱いにくい存在になってしまうのでしょうか?

2018/02/01追記

密度変化の結果に対する考察(確認)です.
 \displaystyle{ \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} }が負の場合,密度変化は正となり密になることを示しています.変位が減少していくということは,

  • 前がどんどん詰まってくる(「渋滞している」イメージで変位が正の場合)
  • 渋滞を抜けてすぐの前との間隔が広がっていく(変位が負の場合)

ということであり,正→負のところ(すなわち,変位が右下がりでゼロの近辺)で密になるというわけです.*4

*1:縦波の反射音叉の振動モードのネタです.

*2:微分」というと,変数が  xの方がなじみよいかと思い

*3:断面が疎密波の進行方向に対して垂直となるようにとった

*4:変位の変化率(微分係数)がもっとも大きくなるところが密になるというのが一般.変位の様子が正弦波として与えられるときは,上記のとおり右下がりゼロ近辺で密となる.