理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

「2018年大阪市大前期物理第3問」のメモ

いまさらな感じもありますが,「的中」なところもあったのでそこへの追記と合わせてメモを残しておきます.最近,大手予備校さんの解答速報はしばらく時間が経つと,問題が削除されるんですよね.著作権の問題からでしょうか?

問題としては,カルノーサイクルの熱効率に関する問題で,ほぼ以下のネタに書いている内容とかぶっています.
miwotukusi.hatenablog.jp
miwotukusi.hatenablog.jp

この問題,とにかく変数と関係式が多いので,時間がかかってしまうかもしれません.面倒な問題ではありますが,大学の物理でも,この話は出てくるのでやっておいて損はないです*1

問1.熱力学第1法則

ここは,変数を考えなくとも解答できるところです.上のネタその1にあるような表を穴埋めしていくだけです.
熱力学第1法則については,熱力学の第1法則は、公式で覚えちゃダメ - 理系男子の独り善がりを参照していただければと思います.

  • たとえば,さらに表の右に「気体の内部エネルギーの増加量」という枠を付け足しておいて,
  • 等温変化であれば  \Delta U = 0,断熱変化であれば  Q = 0を埋める.問題文の表現に従い,空欄には「0」とは書かず,「ゼロ」と書いた方がいいと思います.
  •  \Delta Wについて,「膨張」過程であれば「正」,「圧縮」過程であれば「負」と書き込みます.
  • あとは, Q = \Delta W + \Delta Uの関係に従い,空いている枠を埋めていきます.( Q=0ならば  \Delta W \Delta Uは異符号, \Delta U = 0ならば  Q \Delta Wは同符号)

問2.ポアソンの式の書き換え

ポアソンの式: p V^{\gamma} = \rm{Const.}状態方程式 p V = R T(気体の物理量は 1mol)を組合せて,圧力  pを消去します.最後にある  \displaystyle{ \frac{V_A V_C}{V_B V_D} = 1} \cdots (A)の式が後で効いてきます.

問3. p-Vグラフと熱力学第1法則

面積はあくまでも「気体がする仕事」を表しているので,そのことと熱力学第1法則により,その面積で与えられる量が熱量に等しいことを説明します.
ネタその1でもやっている計算ですが,「面積」なので,
  \displaystyle{ \Delta W = \int_{V_A}^{V_B} p dV }

という式があり,ここへ  p = R/Vという式をほり込んで積分を実行することになります.
さらに,積分の中身について少し触れておくと, dV(=(変動する表面の面積)×(変動した距離)として与えられる量)において,圧力: pは一定である(とみなす)という内容になっています.つまり,微小な体積変化をしている間,圧力は変化しないという条件の下での操作であり,これが「ゆっくり変化させる」という言葉の中に含まれています.

問4.と問5.台形の面積

ここまでたどり着いていれば,言わずもがな.かと.
強いてあげれば,上の(A)式を用いて  V_C, \ V_Dが書き換えられるところぐらいでしょうか?

問6.熱効率

想像ですが,「あれ?熱効率ってなんだっけ?」で行き詰った人がいたのではないでしょうか?ここ,結構穴だったかもしれません.ネタその2にはそのあたりを記しています.
大雑把に言えば,
 投資した(与えた)熱量に対して,どれだけの見返り(熱機関が外にする仕事)を得られるか?

という割合のことです.投資と書きましたが,見返りは必ず投資より小さくなるので損をすることになります.問4.と問5.の結果を用いると,単純に熱源の温度の式として表されます.

問7.なんかうまく近似できるんですが

言われているとおりに式変形をしていくと,あれよあれよと曲線  A' B'と曲線  DCが一致する(曲線  CDと書いていないことに注意)ことが示されます.ただ,ここで「だから,なに?(言われたとおり,式変形したんですけど)」となってしまった人も多いのではないでしょうか?
変数を  \displaystyle{ (p, \ V) \rightarrow \left( \frac{p_D}{p_A} p , \ \frac{V_D}{V_A} V \right) }と置き換えたというのは,「縦と横の拡大比を変えた」という操作になっています.

たとえば, (x, \ y) \rightarrow (2x, \ y)と変数を置き換えると,全体的には「横へ2倍拡大した」という操作になります.ここで半径 1の円周とその内部となる図形を考えたとき,図形自体は楕円となりますが面積はもとの円の 2倍として与えられます.

つまり,縦へ  \displaystyle{ \frac{p_D}{p_A} }倍,横へ  \displaystyle{ \frac{V_D}{V_A} }倍という操作により,曲線が一致したということを上では示しています.とすると,その曲線により囲まれた図形の面積も
 曲線  ABの面積の大きさを  \displaystyle{ \frac{V_D}{V_A} \cdot \frac{p_D}{p_A} }倍すると,曲線  CDの面積の大きさになる.

という流れになります.そうなれば,曲線で囲まれた面積自体の計算はしなくとも(=「近似に頼らずに」),熱効率を計算できるというカラクリです.そして,最後に状態方程式を用いることで,この結果が温度のみの式で与えられます.

2018/06/03追記

最後の問7について,図を描いてみました.2つの曲線が一致するようにしたとき,その「軸」が  \displaystyle{ (p, \ V) \rightarrow \left( \frac{p_D}{p_A} p , \ \frac{V_D}{V_A} V \right) }と置き換えられているというイメージです.余計にややこしくしてしまいますかね?(苦笑)
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実は,カルノーサイクルというのは「温度とは何か?」という話に関わっています.2つの熱源がそれぞれ温度を持っているわけですが,その温度の関係を気体物質の種類に寄らずに決めることができます*2.このように決めた温度を熱力学的温度と呼んだりします.このあたりの話は,「熱・統計力学」と呼ばれるような分野ではじめの方に出てくる内容だったりします.

*1:大学でこの部分の講義を略そうとしている?

*2:そもそも 0℃や 100℃という温度は,「水」という物質の相変化を基準としているので,物質に依存した定義となっている