理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

なぜ正弦波で話をするのか?~フーリエ変換とスペクトル~

去年の夏に書いた「うなり」のネタの補足的な内容です.そこでおこなった計算の応用が後でいろいろと出てきますので,先に以下を一読の上,読んでもらえればと思います.

数学的な考察をするにあたり,音波を正弦波であるとして話を展開しました.しかし,「うなる」だけであれば別に正弦波でなくともよいように思えますし,周期性をもったものであれば問題はないように思います.うなりの公式: b = | f_1 - f_2 | の導出には,正弦波は登場していません.さらに,「波」が従う波動方程式とよばれる微分方程式
  \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}  = 0}

の一般解は,
  f(x,t) = g(x-ct) + h(x-ct)

という形で与えられ,どこにも三角関数は登場しません. \sinが,関数  g hに対応しているだけということになります.じゃあ,なんで正弦波で話をしているの?という話になるわけです.

まず,うなりの話

うなりは,周波数のわずかに異なる 2つの音波が重なったときに発生します.ここにいろんな周波数が入ってくると,3つ以上の音波が混ざってくることになり,うなり自体が発生しにくくなってきます.と書いていて,「でも,3つぐらいなら,まだうなるんじゃないの?」と.
そこで,ちょっと計算してみます.次の 3つの音波で重ね合わせをしてみます.
  \begin{cases} y_1 = A \cdot \sin{\left( 2 \pi f t \right)} \\ y_2 = A \cdot \sin{\left( 2 \pi (f+d) t \right)} \\ y_3 = A \cdot \sin{\left( 2 \pi (f+2d) t \right)} \end{cases}

上に挙げたネタその1でやっている計算を借用するだけです.周波数の差を等間隔にしていることもあり,比較的簡単に計算できます.先に  y_1+y_3を出して,それに  y_2を加えると,
  y_1 + y_2 + y_3 = A \left\{ 2 \cos(2 \pi d t) + 1 \right\} \cdot \sin(2 \pi (f+d) t)

式だけではわかりにくいのですが,振幅を表している  2 \cos(2 \pi d t) + 1の部分は  -1 \leqq 2 \cos(2 \pi d t) + 1 \leqq 3となっています.なので,2乗をして音の大きさとして見たときには,一定の振り幅での「うゎーん,うゎーん」のくり返しではなく,
 「うゎーんうゎーん,うゎーんうゎーん

というくり返しになります.これも「うなり」というのかわかりませんが.いまは周波数の間隔が等間隔として考えましたが,これが等間隔でなくなると,大小のところも大きさやタイミングもずれてくると考えられます.
話が横道にそれましたが,うなりのような音の重ね合わせはシンプルな音同士を考えているので,正弦波でも構わないわけです.でも,一般に聞こえてくる音ではそういうわけにはいきません.

周期をもつものは,周期をもつものの重ね合わせで表現する

逆の言い方をすると,「周期をもつものは,周期をもつものに分解できる」となります.そして,これ(分解する方)をフーリエ変換と呼びます.周期性をもつ関数は,シンプルな周期性をもつ関数の和に分解することができるわけです.この「シンプルな周期性をもつ関数」に正弦つまり  \sinを任命してあげるわけです.
上で挙げた 3つの音波の重ね合わせについて,改めて式を書くと,
  \begin{align} &A \left\{ 2 \cos(2 \pi d t) + 1 \right\} \cdot \sin(2 \pi (f+d) t) \\ &= A \cdot \sin{\left( 2 \pi f t \right)} + A \cdot \sin{\left( 2 \pi (f+d) t \right)} + A \cdot \sin{\left( 2 \pi (f+2d) t \right)} \end{align}

と分解されていることになります.左辺がもっと複雑でも,フーリエ変換の公式に当てはめると分解することができるようになります.

分解した後のポイント

フーリエ変換で分解した後,分解されたそれぞれの項の「係数」と「周波数または周期」に注目します.どこのことかというと,
  \underbrace{A}_{係数} \cdot \sin{( 2 \pi \underbrace{(f+d)}_{周波数} t )}

となります.大雑把な言い方をすれば,
 「考えている周期関数には,この成分(周波数または周期)が,このぐらいの大きさ(係数の比)で含まれていますよ」という成分表示をしている.

ととらえてもらえばいいと思います.横軸に周波数または周期,縦軸に係数の大きさをとったグラフを描くことになります.ネタその2でやっていた「振幅の異なる 2つの音波の重ね合わせ」は,結果の式を逆にフーリエ変換をすることで,「周波数」 f f+dの波が  1:k の割合で含まれていたことが示されます.

ちなみに,あらゆる周波数を均等に(同じ大きさ・割合で)含む波は,光にたとえると白色(あらゆる光を混ぜた色)となるので,ホワイトノイズ(背景の雑音となっているイメージから)と呼んだりします.

実は,このような分解(パワースペクトルと呼ばれたりします)は,地震波の解析でもよく用いられています.どのくらいの周波数または周期をもった波が,どのくらいの割合で含まれているかということを表しています.「長周期振動」という言葉が一時期よく出ていたかと思いますが,これは特定の長周期の成分が大きいですよ.ということを指しています*1.もとの地震波は複雑な波形をしていますが,フーリエ変換を用いると,このような成分分析ができるようになるわけです.
ただし,パワースペクトルは「周波数」と「大きさ」だけを抽出していて,「位相」についての情報は抜けてしまいます.となると,ある程度長い時間(周期より十分長い時間)での事象を考えるときに用いるべきものとなります.逆に,周期程度の時間の事象を考えるときには,位相(のズレ)も関わってくるのでパワースペクトルを用いて解析をすることは向いていないと言えます.普通に「音を聴く」という事象については,パワースペクトルの解析は有効です.


このような知識を少し持っていれば,地震のときに出てくる情報も理解しやすくなると思います.ほかに,音でも光でも同じような話はよく出てきます.光であれば,分解をしてオレンジのあたりの周波数の割合が大きければ,その光は「オレンジ」に見えているはずです.このパワースペクトルのことも踏まえて,次回ちょっと「懐かしい」話をしようと思っています.

*1:たとえば,気象庁のページ:気象庁 | 長周期地震動に関する観測情報(試行)解説を参照してみてください.