理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

2019年もよろしくお願いします~小さい問題の解答編~

改めて,問題は「2019は 2つの平方数の和とはならないことを示してください.」でした.
平方数の性質を知って入れば難しくないですね.ちなみに,わたしが高校生のときは,この単純な性質はあまり意識したことがなかったように思います.

では,解法を.

  • 偶数の 2乗は 4の倍数( m^2 = (2M)^2= 4 \cdot M^2)であり,奇数の 2乗は 4の倍数+1( n^2 = (2N-1)^2 = 4(N^2-N)+1)となります.
  • 2019は奇数なので,2数の和となるのなら (偶数)+(奇数)の形をとるはずです.
  • 偶数の 2乗と奇数の 2乗の和は,4で割ったあまりが 1になります.
  • しかし,2019を 4で割ったあまりは 3です.
  • ということで,2つの平方数の和とはならないことがわかります.

4で割ったあまりを考えればいいというだけでした.

 \sqrt{2019} \fallingdotseq 44.93なので, 2019 - m^2 \ (m=1,2,3, \cdots , 44)がすべて平方数にならないことを調べるという力技(Excel使えば力はいらない)もあるにはあります.
2019は,もっと多くの平方数の加減だったり,3つの立方数の和で表すことができるそうです.格子点の問題( x+3y+673z=2019を満たす自然数の組はいくつ?みたいな)のも考えてみてもいいかもしれませんね.(こっちを取り上げた方がよかったかな...)

あと,何気に気になっているのが「3が合同数でないことの初等的な証明」です.どなたかご存じないですか?
兎にも角にも,まずはみなさま,よいお正月を.