改めて，問題は「2019は 2つの平方数の和とはならないことを示してください．」でした．
平方数の性質を知って入れば難しくないですね．ちなみに，わたしが高校生のときは，この単純な性質はあまり意識したことがなかったように思います．
では，解法を．
- 偶数の 2乗は 4の倍数(
)であり，奇数の 2乗は 4の倍数+1(
)となります．
- 2019は奇数なので，2数の和となるのなら (偶数)+(奇数)の形をとるはずです．
- 偶数の 2乗と奇数の 2乗の和は，4で割ったあまりが 1になります．
- しかし，2019を 4で割ったあまりは 3です．
- ということで，2つの平方数の和とはならないことがわかります．
4で割ったあまりを考えればいいというだけでした．
なので，
がすべて平方数にならないことを調べるという力技(Excel使えば力はいらない)もあるにはあります．
2019は，もっと多くの平方数の加減だったり，3つの立方数の和で表すことができるそうです．格子点の問題(を満たす自然数の組はいくつ？みたいな)のも考えてみてもいいかもしれませんね．(こっちを取り上げた方がよかったかな...)
あと，何気に気になっているのが「3が合同数でないことの初等的な証明」です．どなたかご存じないですか？
兎にも角にも，まずはみなさま，よいお正月を．
