ナベアツ数列？ - みをつくしのひとりよがり

と呼んでもいいのかわかりませんが，あの「〇〇になる」やつです．もう 10年ぐらい経つんですね．

「3の倍数と 3がつく数字のときだけ，アホになります」
「3の倍数と 3がつく数字のときだけ，アホになります．さらに，5の倍数のときに犬っぽくなります」
「3の倍数と 3がつく数字のときだけ，アホになります．さらに，8の倍数のときに気持ちよくなります」

これお正月の整数問題にすればよかったなあと思いつつ，いま問題にしてみます．

2021/06/21：少し気になったことがあったので，一度非公開にしていました．チェックできたので再度公開します．

問題：上の 1.～3.のそれぞれにおいて，「アホになっている」2019番目の数字を答えてください．

1. 「3の倍数と 3がつく数字のときだけ」

以下，3の倍数はオレンジ色，「3がつく数字」は赤色(これらの両方を満たすときは赤色)で表します．
まず 1～10の間では，
　 $1, \ 2, \ \color{red}{3}, \ 4, \ 5, \ \color{orange}{6}, \ 7, \ 8, \ \color{orange}{9}, \ 10$

これではちょっと様子がわかりにくいので，一気に 1～99の間について考えてみます．ちょっと見やすくするため(すぐ後でわけはわかります)に，「0」から始めてみると，
　 $\begin{array}{cccccccccc} \color{gray}{0}, & & & \color{red}{3}, & & & \color{orange}{6}, & & & \color{orange}{9},\\ & & \color{orange}{12}, & \color{red}{13}, & & \color{orange}{15}, & & & \color{orange}{18}, & \\ & \color{orange}{21}, & & \color{red}{23}, & \color{orange}{24}, & & & \color{orange}{27}, & & \\ \color{red}{30}, & \color{red}{31}, & \color{red}{32}, & \color{red}{33}, & \color{red}{34}, & \color{red}{35}, & \color{red}{36}, & \color{red}{37}, & \color{red}{38}, & \color{red}{39},\\ & & \color{orange}{42}, & \color{red}{43}, & & \color{orange}{45}, & & & \color{orange}{48}, & \\ & \color{orange}{51}, & & \color{red}{53}, & \color{orange}{54}, & & & \color{orange}{57}, & & \\ \color{orange}{60}, & & & \color{red}{63}, & & & \color{orange}{66}, & & & \color{orange}{69},\\ & & \color{orange}{72}, & \color{red}{73}, & & \color{orange}{75}, & & & \color{orange}{78}, & \\ & \color{orange}{81}, & & \color{red}{83}, & \color{orange}{84}, & & & \color{orange}{87}, & & \\ \color{orange}{90}, & & & \color{red}{93}, & & & \color{orange}{96}, & & & \color{orange}{99} \end{array}$

なんか規則正しい感じに見えてくると思います．
先頭の「0」も3の倍数として見てあげると，同じような数の並びになるのは「300」「600」「900」…ときだとわかります．なので，とりあえず 300まで頑張ってみます．
と，実際には書き出していません．横の列ごとに何個ずつあるかを数え上げようとしたところ，100の位の数と 10の位の数を XYと表して，

XY0が 3の倍数のとき ⇒ XY0, XY3, XY6, XY9
XY1が 3の倍数のとき ⇒ XY1, XY3, XY4, XY7
XY2が 3の倍数のとき ⇒ XY2, XY3, XY5, XY8

と横の列ごとにきれいに 4個ずつしか当てはまる数がないことがわかりました．こうなると，だいぶ数え上げやすくなります．

1～999までには何個の「アホ」があるのか？

X3Zのときの 10個はすべて当てはまるので，1～299までの数については，

1～99までの間には，4×9＋10－1(「0」は除外するから)＝45個
100～199までの間には，4×9＋10ー1＝45個(ここも「100」は除外)
200～299までの間にも，4×9＋10ー1＝45個(ここも「200」は除外)

合計 137個あることがわかりました．
さらに，

300～399はすべて当てはまるので 100個
400～999までは，400台，500台…となるので，45×6個

とすれば，1～999までには 45×9＋100＝505個あることがわかります．

どこまで数え上げればいいのか？

ここで一度問題を振り返ってみます．
　「アホになっている」2019番目の数字を答えてください．

2019番目はどのあたりにあるのか？(どこまで数え上げていかないとダメなのか？)をおおよそ見積もっておく必要があります．

1～99までで45個＝おおよそ 45％
1～999までで 513個＝おおよそ 51％

どうも倍(2019×2＝4038)ぐらいまで数え上げれば，答えにたどり着きそうです．さらに勘定をしていくと，

1000～1999までは，505個
2000～2999までも，505個

1～2999までで 505×3＝1515個になりました．
で，3000台．そうです．ここはずーっとアホなんです！というわけで，
　2019－1515＝504

「3000」から数え始めて 504番目の数なので「3503」これが 2019番目の「アホ」になります．どのあたりにあるのかと目星を付けるあたりは，群数列とかチャンパーノウン定数の考え方に似ていますね．

一見，不規則そうな数列だと思ったのですが，10個の中に 4個ずつ含まれる(30番台を除く)ときれいに入っているのは絶妙だなあと感じました．

残りの問題

2.の 5の倍数，3.の 8の倍数についても同様に積み上げていくことを考えれば，導くことができます．答えだけ載せておきますので，数え上げ方は考えてみてください．
2.の答えは 3153，3.の答えは 3269

「3がつく数字」の配置

ここでは，3の倍数は無視して考えます．まずは論より証拠，下図は N＝0～60万までの配置を図にしたものです．

「３がつく数字」の配置(N＝0～60万まで，横は 1,000で折り返し，黒線は 100刻み)

上の 0～99の例は，左上隅の十字の部分になっています．このようにして図を見ると「左から3割，上から3割」のところに，十字線が入る図形が，親子のように重なりあっている様子が見えてきます．これってフラクタル図形になるんですかね？コッホ図形とか，シェルピンスキーのギャスケットとかは有限の大きさの中での話で，いまのはどんどん拡がっていく話なので，当てはまるのかどうなのか…(どなたか詳しい方教えて欲しいです．)