タイトルにも書いたように，積分の練習問題としてはいい問題だと思います．「いい」というのは，ある意味「ひっかけ」もあるってことでもあるのですが(笑) 問題 半径 1の円柱を，底面の直径を含み底面と角 をなす平面で切ってできる小さい方の立体を考える．…

2次試験はじまりました．なんとなくですが，計算力で勝負する問題が増えてきている気がしています． やはり，課程が変わっているからなのでしょうか？ 問題 を自然数，を を満たす実数とする．このとき を満たす の組 をすべて求めよ． tanの加法定理が出て…

いよいよ，明日は2次試験ですね．その前に，ちょっと目に留まった問題のメモを残しておきます． 問題 を 以上の自然数とする．から までの自然数の順列 のうち，を満たさないような がただ つだけある順列の総数を とする．例えば，の場合，条件を満たす順列…

今年は何かと休みの並びが良くないようですね．お正月が週末というところから始まり，なんと「祝日が土曜日」が 4回もあるそうです．そこで，単純に祝日の間隔を書き下してみました*1． ハッピーマンデーが増えたとはいえ 日にちが不定な春分の日・秋分の日…

受験前の高校生であれば，15分ぐらい(できれば 10分)では答えを出して欲しいところです．見た目は整数問題っぽいですが，それだけでもないという問題です． 1) を求める 要は，2017が何の 2乗となるのか？という話です．ある程度近い値を見つけて寄せていく…

あけましておめでとうございます．めっきりネタを書くことが少なくなってしまいましたが*1，ゆるりゆるりとお付き合いいただければ幸いです． 今年もまたちょっとした整数問題を考えてみました。なにせ 2017は素数ですから，相当狙い撃ちをされるのではない…

以前，少し触れていた内容です．元ネタは↓ miwotukusi.hatenablog.jp脚注の中で，「極値の近くなどでは，期待どおりの解に到達できない場合もあります．」と記していました．その具体例となぜそんなことになるのかを以下に示します． 調べ方 以下のような処…

前回，曲率の定義を書き下しました．今回のネタのために書いたものでした．元ネタはこちら． 蚊取り線香のうず巻き～その1～ - 理系男子の独り善がり 蚊取り線香のうず巻き～その2～ - 理系男子の独り善がり 線香の燃え方に曲率が関係するのか？ということを…

まだまだ暑くて，体がだるーんと曲がってしまいます．今日は，曲率です．高校数学ではまず扱わない分野ですね．でも，微分の知識があれば，定義も計算もできる内容なので難しくはないと思います*1． 130R と聞くと，お笑いコンビ(最近は揃ってみることは，ま…

だいぶと日が経ってしまいました． 微分積分という分野は，「無限」を扱うので，単純にイメージだけで片付けるのは危険なところがあります．でも，ここでは「まず，習うより慣れよ」ということで，書いてみることにします． 置換積分って何をしてる？ 言い換…

もう3か月以上も経っていますが，ちょうどいい例もあったので補足と合わせて書いておきます．元ネタはこちら↓ miwotukusi.hatenablog.jp まずは，補足から 上級編の病気の検査についてです．「ベン図が描きにくい」と書きましたが，全数を一度 人とおいて整…

前々回，前回と，と の大小関係を調べました．その中で，でも となるときがあることがわかりました．そして，その と の関係式を としてグラフを描きました． ここでは，のグラフの描き方を書いていきます． ニュートン法 これは高校数学の範囲でも書かれる…

前回の続きです．まずは，グラフの概形から． iii) のときのグラフの概形 ポイントとなるのは， であること (最小値が 0以下)であること と の大小関係 の3つです．そして，グラフの概形を描いた後に，そもそも の範囲で大小関係を考えていることに立ち戻っ…

唐突ですが，と の大小関係を考えてみたいと思います．数に対する条件も含めて，問題として書くと 問題 である2つの実数 と について，と の大小関係を示せ． 指数関数の基本と問題への準備 底が同じであれば，指数法則の大小関係を使いますよね．って，一応…

図形の計量に関する問題です．この問題，変数をどのように置くかでいろいろな回答が出てきます．こういう置き方もありますよ．というものを一つ挙げておきます． 問題の概要と方針 問題自体は書きませんが，ちょっと生活感を出した感じにすると，次のように…

今年は「あまり」に絡んだ整数問題があちこちで出されていますね．先に書いた京大の問題もそうですし． 東大の問題からも，整数問題(小数問題？)を取り上げておきます． 問題はちょっと長いので，河合塾さんへのリンクで． この問題，小数部分に関する問題と…

2次試験がはじまりましたね．とりあえず，またシンプルな(短い)問題をいじっておきます． 問題 素数 を用いて と表される素数をすべて求めよ． 整数問題で「すべて求めよ」という問われ方をしているときは，「小さい数のいくつかが答えで，値が大きくなると…

先日のネタ*1*2に書いた【小問】2問の解答です．いつものごとく，細かい計算は略しています． 【第1問の小問】 問題：円周を 等分する点から異なる3つの点を選ぶとき，それらを結んでできる三角形が鋭角三角形となる確率を求めよ．ただし，は自然数とする． …

※2017/11/23 タイトルを変更しました．前回の続きです．濃い目の2問が続きます． 第3問 コインのパズル 図は，ちょっと回転させたりしたものを描いてみました．一部で，数学五輪級の問題だと言われた問題です．確かに，易しくはありません． (1)左端にある表…

※2017/11/23 タイトルを変更しました．この時期はどうしても仕事がバタつくので，何かネタを書きたくても書けないことが多くなります．というところで，ほんとにいまさらなのですが，昨年11月におこなわれた京都大学特色入試の問題を見て感じたことをつらつ…

前回の続きになります．定義・初級編・上級編という流れで書いていきます．※2016/01/26 一部修正をしています． 定義 2つの事象 A，Bについて，事象 Aがすでに起こっているとしたときに事象 Bが起こる確率を「Aが起こったときの Bの条件付き確率」といい ま…

数学IA 第3問(条件付き確率)と第4問(不定方程式)についての補足メモです． 第3問 条件付き確率の問題は，図で考えやすい場合と絵が描きにくい場合があると思います．今回の問題は図で考えやすい方かと思います．確率は「分母と分子」で求められるものなので…

数IIBです．とうとう，気にしていた「あの」問題が今年は登場しましたね． 数学IIB 第1問 [1] (1)昨年は√と3乗根を指数に置き換えましたが，今年はみごとに逆です(笑)．対数計算のおまけつきです． (2)問いたかったのは2番目の「逆関数」なのかなあ？という…

昨年は，数IIBの難しさがニュースになるぐらいでしたが，今年はどうだったんでしょうか？また，一通り解いてみました．先に，数IIBも含めた全体的な印象を書いてしまうと， 思考力より，計算力と知識力を問うた？というところです．知識力というよりは，暗記…

整数問題に分数が出てくると，ちょっと難易度があがった感じになりますね．数え上げる or 書き出してしまえば，ベタに計算できてしまう．でも，それでは時間がかかるし，計算ミスの確率も高くなる．論理的かつ効率的な考え方が必要となります． 1)約数の個数…

あけましておめでとうございます．2015年は2014年ほどまではネタが書けませんでしたが，それなりに濃く重いものも，軽いものも書けたかなと思っています．引き続き，お付き合いいただければ幸いです． 1年前は2015(2014も)を用いた整数問題を出させてもらい…

ちょうど「ハナタカ」を見ていて出てきたので、その理由をメモっておきます。 問題 からはじまる連続した 個の自然数の和を求めなさい。 高校数学であれば、等差数列の和の公式ですね。ハナタカさんの方法は、この公式をちょっと変形したものです。その公式…

高校数学の2次関数で「頂点」や「軸」が出てくるころに，のどの奥に引っかかるような感覚になるアレです．具体例を挙げると， 放物線：を x軸方向に +2だけ平行移動したものは，と表される．そうです，x軸の正の方向に「進んでいる」のに，式の上では「マイ…

時間が空いたのですが，おまけの第3弾を書いていきます．たまたま，最近見かけたある問題をきっかけにしています． 問題 次の式を満たす実数 をすべて求めよ． この問題は，次の数学オリンピック2009年予選問題を改題したものです． 実数 についての方程式 …

前回の最後に触れていた「疑問」ですが，わたしは以下のようなものが出てきました． まきが1周や2周だった場合，中間地点の位置はどうなるのか．なにか規則性のようなものは見つかるのか？ アルキメデスの螺旋以外に，蚊取り線香のまきを表せるような図形は…