では、本丸に攻め入ります。そういえば、今日は赤穂浪士討入りの日でしたね。
問題
ある店で買い物をすると、金額に応じて 3点と 5点のコインがもらえます。A君は 3点と 5点のコインが合計 100枚たまったの で、ある景品 1個と交換してもらうことにしました。もっている 3点のコインだけをすべて使って交換しようとすると 5点分あまり、5点のコインだけをすべて 使って交換しようとすると 7点分足りません。
次の問いに答えなさい。
- 景品は何点で交換してもらえますか。（→その1へ）
- その景品の点数ぴったりで交換することができる 3点と 5点のコインの枚数の組み合わせ方は何通りですか。
小学生なら「つるかめ算」
「つるかめ算」は、方程式を使わないで工夫して解く典型的なパターンですね。3点、5点と書いてありますが、「足の本数を言い換えているだけ」とみることができれば同じです。一度、すべての動物が足の本数が少ない方であると考えて、足りない分を多い方との差で埋め合わせることを考えます。
いまの問題でも、一度すべてのコインが 3点だったと考えます。「埋め合わせる」ことを考えるので、187点を超えない枚数を考えます。187÷ 3＝62あまり 1ですから、3点のコイン 62枚で差は 1点となります。しかし、5点- 3点＝2点なので、この 1点の差を埋め合わせることができません。
さらに、3点のコインを 1枚減らしてみます。すると、
3点のコイン 61枚で、差は 4点
となります。4点なら、2点× 2で埋め合わせることができます。つまり、3点のコイン×2枚と 5点のコイン× 2枚を交換すればよいわけです。（3点のコイン× 59枚＋5点のコイン× 2枚でOK）
あとは、3点のコインをどんどん減らしていくのですが、
- 埋め合わせる差が偶数でなければいけないこと
- 5点のコインは 36枚しかないこと（1.より 180点÷ 5点＝36枚）
を頭に入れておかないといけません。
「埋め合わせる差が偶数」ということから、最初に 1枚減らした次からは 2枚ずつ減らしていかないといけません。点数で言えば、6点ずつ減らしていくことになります。
6点を埋め合わせるには、5点のコインが 3枚必要です。なので、ここからは「5点のコインを 3枚ずつ増やしていく」と考えれば、
3点のコイン× 59枚＋5点のコイン× 2枚
3点のコイン× 54枚＋5点のコイン× 5枚
3点のコイン× 49枚＋5点のコイン× 8枚
・・・
3点のコイン× 9枚＋5点のコイン× 32枚
3点のコイン× 4枚＋5点のコイン× 35枚
5点のコインは 36枚しかないので、ここまで
となり、12通りの組合せがあることがわかります。
次回は、高校数学で扱うとどうなるかを書いていきます（実はここからが本編なのかも）。
