2018/10/13追記
本ネタの焼き直し(数式の表記化が主)をしました。
入試問題としても、ちょくちょく扱われる「熱気球の問題」を考えてみます。他の熱力学の問題とは少し違った考えが必要になってきます。
ポイント１：熱気球は「閉じていない系」
通常熱力学の問題では、物質(気体)のやり取りがない「閉じた系」が扱われます。シリンダや風船といったものです。ところが、熱気球には気球の外と空気のやり取りがあります。これが「閉じていない系」という意味です。この時点でボイル・シャルルの法則は使えなくなります。この閉じていないことをどう理解するかが第一のポイントです。
ポイント２：「気球が浮く」のはなぜ？
ここは力学の考えを使います。それもそのまんま「浮力の原理(アルキメデスの原理)」です。通常、浮力の原理というと液体中の物体を想像しますが、浮力の原理は流体中の物体に対して成り立つ原理です。空気は流体ですので、空気中の物体にも成り立つわけです。
気球部分により押しのけた空気の重さだけ浮力が得られます。ただし、気球部分には軽くなったとは言え、空気が存在します。さらに、荷台に乗せられた荷物もあります。これらの力関係を考えれば、
(浮力) ≧ (気球部分の空気による重力)＋(荷台の重力)
という式が満たされたとき、熱気球は浮くことになります(等号のときに、ギリギリ浮き出す)。さらに少し書き換えて、
(浮力)−(気球部分の空気による重力) ≧ (荷台の重力)
とすれば、気球は気球部分の重力の「ギャップ」を利用して浮いているとも言えます。
ところで空気中の物体に浮力が働くということは、人間にも浮力が働いていることになります。体積が大きければ、それだけ「浮力」は得られますが、当然それだけふっくらと・・・(笑)
ポイント３：状態方程式を「加工」する
状態方程式は、圧力：P・体積：V・温度：Tという物理量の関係式として与えられています。
PV＝nRT
これを加工していきます。どのように加工するのかというと、密度を用いた関係式となるようにします。n/Vが「モル体積密度」を表すことに気が付けば、簡単です。モル体積密度だとイメージが湧きにくいので、わざわざですが質量密度に書き換えてみます。
そのために、空気の平均分子量：μを導入します。ちなみに、この平均分子量は空気の成分が酸素：窒素＝1：4であるとすれば、約28.8[g/mol]と求められます。質量密度：ρは、ρ＝nμ/Vとなり、これを用いて状態方程式を書き換えれば、
P＝nμ/V・R/μ・T
P/(ρT)＝R/μ＝一定
となります。右辺は気体の「量」には無関係*1であり、閉じていない系でも成立する式となります。さらに、これをボイル・シャルルの法則もどきに書くと、以下のようになります。
P’/(ρ’ T’)＝P/(ρT)
ここへ「閉じていない系」であることを加味します。それは気球の内外では気圧が同じということです。P’＝Pということです。
結果、熱気球については、ρ’ T’＝ρTという式が成り立ちます。
熱気球が浮く条件
ρ’＝ρ・T/T'となるので、これを代入して整理すれば、
T’≧ T/(1- M/ρV)
という条件が得られます。この結果を覚える必要はありません。「気球内の気体を何度まで温めれば、浮き上がることができるか？」といった計算問題となることが多いです。
浮き上がる温度を求めるだけじゃ、面白くない
もう一度、気球が浮き上がる条件の式を考えてみます。
(浮力) ≧ (気球部分の空気による重力)＋(荷台の重力)
具体的な式として表すと、
ρVg ≧ ρ’ Vg＋Mg
となります。気球が浮くときの合力：Fは、左辺と右辺の差なので、
ρVg－(ρ’ Vg＋Mg)
＝ ρVg－ρ・T/T’・Vg－Mg
＝ρVg(1- T/T’)－Mg
となります。ρ’が温度 T’の関数だったので、合力は気球内の温度：T’の関数として表されます。
ところで気球が上昇していったとき、気球外の外気(大気)はどのように変わるでしょうか？高い山に登れば、気温は下がりますし、空気も薄くなります。これを高度を hとして、物理的な表現に置き換えると次のようになります。
- 気温が下がる→ 外気の温度：T＝T(h)は、hの減少関数として与えられる*2。
- 空気が薄くなる→ 密度：ρ＝ρ(h)も hの減少関数として与えられる。
というわけで、合力を書き改めると、
F(T’, h)＝ρ(h)・Vg{ 1- T(h)/T’ }－Mg
となります。与えられた高度に対する気温や密度によって、上昇するために必要な気球内の温度が変わるということです。このような分析や考察を問うような問題があってもいいのかな。と思います。
おまけ
気球に乗って太平洋を横断したり、世界一周をしたりという人がたまにいます。偏西風に乗って移動す ることを考えるので、熱気球とはまた違った手段を使います。非常に高い高度に到達するので、先に述べたように空気が薄い(密度が低い)ゆえに浮力が小さい、気温が低いといった「悪条件」があるからです。このような場合は、「閉じた気球にガスを詰めたもの*3」を使用します。浮力を得るために、この気球は非常に大きいものになります。
また気球が大きくなれば、気球自体の重さも無視できなくなります。そのため、非常に薄くて丈夫な素材の開発が必要になります。こういうところは、日本が得意なところでもありますね。
最後に、気球に乗ると「風が気持ちよさそうですねぇ」なんて思うかもしれませんが、物理的に考えればこれはウソになります。というのも、風が吹けば気球も一緒に風に流されるので、乗っている人に対する風の相対速度が 0になるからです。
熱気球に関するもろもろ(2016/02/03＋2016/04/03追記＋2017/08/13追記)
これ以降に記している熱気球がらみのネタです．合わせて参考にしてもらうと幸いです．
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熱気球が浮く仕組みリターンズ （熱気球の応用問題を解いてみました）
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熱気球が浮く仕組み～ちょっと補足＋α～（ボイル・シャルルの法則と状態方程式を組み合わせて，いつもとはちょっと違った見方を書いています）
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大気の物理(熱気球からの発展)～その1～（熱気球の「膜」を外したら，大気の話になります）
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大気の物理(熱気球からの発展)～その2～ （さらに発展させて，気象予報士向け「もどき」の内容になっています）
- 大気の物理～その3(2年越し)～（湿気を含んだ空気の扱いを修正する内容になっています）
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浮力の疑問 （「暖かい空気は軽い」という言葉に疑問を投げかけています）
