さて，問題の数IIBです．対数は出てこないものの，「指数に死す(ぅ)」というところでしょうか・・・
数IIB
第1問
[1]加法定理の逆が地味に登場する問題ですね．半径2の円周上を回る点Pとその点Pを中心に半径1で回る点Qという見方ができれば，冒頭のOP，OQはすぐにわかりますね．
[2]√と3乗根を消すようにすれば，素直に求まります．分かりにくければ，
- √は「1/2乗」に，3乗根は「1/3乗」に言い換えられる．
- 逆数は「-1」乗と言い換えられる．
これらを用いて，すべて指数にもってくることを考えればよいと思います．
第2問
(1)微分の定義ですね．意外と時間を取られるかもしれません．
(2)では三角形の面積：Sを求めますが，ベクトルから求めることのできる準公式*1を用いてもいいですし，素直に四角形からまわりの三角形を引くとしても構いません．Tについても，台形から放物線の下を引くとすればよいと思います．
第3問
ここですね．「2^nの一の位の数をa[n]とする」このくだりで「なに！？そんな数列をもってきて大丈夫？」という印象を受けました．ちなみに，過去に対数のところで，この内容に触れています．この周期性とその周期が4であること．これが，この問題のポイントです．しかしそれ以外にも，いろんなところにトラップが仕掛けられています．
場合分けされている一般項のところですが，
- n=4k-3は，n=1，5，9，13，・・・のシリーズ
- n=4k-2は，n=2，6，10，14，・・・のシリーズ
- n=4k-1は，n=3，7，11，15，・・・のシリーズ
- n=4kは，n=4，8，12，16，・・・のシリーズ
を表しています．n=4k-3のケースを起点に，a[2]/4，a[3]/4，a[4]/4を順次かけていくことになります．
(3)ここまでたどりつくのも一苦労ですが，まだ許してくれません．ここは，4mというのが，上の4パターンを1パックとした塊がm個あると考えればよいです．
(4)ここで混乱してしまった人もいると思います．「1パック」の積は単純に計算できます．それらの積を考えるわけですが，指数法則から「指数の和→シグマ計算」を使うことになります．最後は10=4×2+2として計算しなければなりません．
2015/2/2追記
備忘録的な追記です．a[オ]=a[n]の選択肢に追加正解がありましたが，その理由は以下のとおり．
n=4K+Lとおくと，
5n=5(4K+L)=4(5K+L)+L
となり，nも5nも4で割ったあまりがLで等しくなる．よって，a[5n]=a[n]である．ほかにも4で割って1あまるような数：Mであれば，a[Mn]=a[n]が成り立つ．
第4問
「ひし形」というよりも，正三角形を2つ張り合わせた形と見た方がわかりやすいですね．ここは誘導に従えば無難にこなせる問題だと思います．最後の面積比は，底辺の比を考えるだけですね．
というわけで，全部ではないですが考え方を書いてみました．実は，おととしの11月に試作問題というものが出されていました(平成27年度のこのページ下部に説明と問題へのリンクがあります)．昨年問題を見ていて，いままでの「穴埋め」とは少し違う印象を受けました．それが出たというところでしょうか？
こういう「変わり目」は，いままでのデータが通用しないことも多々あります．まだまだあきらめる段階でもないので，疲れで体調を崩さないようにして，励んでほしいなと思います．
