5月は更新ができませんでした．書きたいネタは，ちょこちょこと頭に出てくるんですが...
今回は，空き缶(円筒)とコンパスで遊んでみたいと思います．これらがあれば，簡単に試せる内容です．
問題
空き缶に紙を巻きつけ，そこへコンパスで円を描きます．巻きつけている紙を外して平らにしたとき，コンパスの軌跡はどのような図形になっていますか？
問題を挙げておいて，いきなりですが，もとの問題(わたしが出会ったときの問題)は，次のようなものでした．
「楕円を描きたいんだけど，簡単に描けないかな？」
ジュースを飲みほした友人が「こうすれば描けるよ」と言いました．さて，どうやって描いたのでしょうか？
答えを見たときは「なるほど，うまいこと考えるもんだなあ」と感心してたのですが，そのうちに「ほんとに，楕円になるの？」という疑問に変わってきました．そこで，今回はそれを調べることにしたという次第です．
その前に，楕円の性質
焦点とか，離心率とか，そういうものもありますが，ここで触れておく性質は単純に「円を一方向に引き延ばしたものが楕円」ということです．これは楕円の面積：が
(
：楕円の長径，短径)
と与えられることからも理解できるかと思います．
このことを今回の問題に当てはめてみると，感覚的には(なんとなく)楕円が描けそうな気がします．
では，調べていきましょう
難しいような感じがしますが，図を描いて，求めるべき量をきちんと求めることを考えれば，難易度は高くありません．最初に，「巻きつけた紙」と「広げた紙」のことを考えてみます．コンパスの針を置いた点を中心とした図形になることは，自明ですね．そして，その針を原点として，「x軸(曲面に沿った方向)」と「y軸(針を置いた点から尾根に沿った方向)」という座標をとることができます．
この感覚を持つことができれば，あとは流れ作業的になると思います．
「曲面上の長さ」と「直線距離」を使い分けて
曲面上でコンパスを使ったとき，コンパスの半径は「直線距離」として与えられます．最後には，広げた紙での軌跡(描かれた図形)を考えるので，曲面上の長さも考えなければなりません．この違いを使い分けるところがポイントです．
「x座標」に対して「y座標」がどうなるかを関係式として表せばよいわけで，下図の点Bのx座標とy座標を媒介変数を用いて表す．
ということです．
図のように角度θを媒介変数とすると，うまく表すことができます．
まず，「x座標」は弧ACの長さとして与えられます．これは，弧ACとなります．
次に，「y座標」は線分BCの長さをピタゴラスの定理を用いて求めます．*1
あとは，媒介変数：を消去すれば，
と軌跡の方程式が求まります．どうも，楕円の式とは違うようです．
楕円との違いを探る
式を操って，定量的に違いを見るのも一手ですが，ここではグラフで見ることにします．y軸方向の「短径」はr，x軸方向の「長径」はとなるような楕円と比較します．これは，上で求めた軌跡と短径と長径だけは合わせた楕円になっています．逆三角関数が出てくるので複雑な形になっていますが，ここは単純に比較を見てください．
「おおむね楕円と言ってもいいかなあ？」という結論のようです．先に書いたように，楕円は円を一方向に引き延ばしたものということから考えると
「ゴムのような素材を平面において円を描き，そのまま平面の上で一方向にギュッと引っ張れば，それが楕円になっている」
ということに気づくと思います．空き缶の場合は，面を引き延ばすこと＋曲率も与えるということになるので，その分だけ「ひずみ」が出ているということになります．
ここからさらに解析を進めるのであれば，たとえばcosをテイラー展開してみるといった方法も一つだと思います．ひとまず，疑問は解決できたので，めでたしめでたしです．
