ガウス記号 - みをつくしのひとりよがり

ガウス記号：[x]は，「xを超えない最大の整数」という定義が与えられますが，特に公式が与えられてたりするわけではありません．整数問題の一つという感じですね．ここでは，ちょっと角度を変えて見たりすることで，この記号の扱い方を整理してみたいと思います．

2017/11/18追記

下記にも出てきますが，「xを超えない最大の整数」というよりは，「小数部分を 0以上 1未満となるようにしたときの整数部分」という方がいいかもしれません．特に，負の数について考えるときは後者の言い回しの方がわかりやすいと思います．
　 $[ -2.5 ] = [ (-3 + 0.5) ] = -3$

まずは定義から

上にも書いた定義からはじめましょう．「xを超えない最大の整数」を「xは[x]と[x]+1の間にある」と言い換えれば，

　 $[x ] \leqq x < [x ]+1$

と書き下すことができます．式で示すだけでもいいですが，数直線を用いて図として理解することもできます．こちらを用いた方が，なぜ「[x]以上，[x]+1未満」になるのかを理解しやすいと思います．
この定義から出てきた式から，もう一つ大事な式を導くことができます．

　 $x-1 < [ x ] \leqq x$

これも数直線を用いれば，簡単なことです．「[x]は，点xとそこから1だけ左に動いた点の間にある」ということです．まとめて図にすると，下のようになります．式で覚えるよりも，この図(の描き方)を覚えておく方が，きっと楽ですよね．

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だんだん畑に，だんだん田？

y=[x]という関数のグラフを描くと，階段のようなものになります．なので，ガウス記号が出てくると，階段関数や床関数といった言葉が出てくるわけです．ガウス記号の中身はxである必要はなく，y=[x^3-x]というグラフを考えることもできるわけです．そのようなグラフを描くときは，あくまでもy軸方向が整数になるように均す(ならす)ところに注意です．どうしても描いているうちに，ついついx軸方向も整数にそろえてしまう(格子点に合わせてしまう)ことがあるからです．
その図のイメージとしては，「だんだん畑」です．ちなみに，田んぼの場合は「たな田」ですね．お間違いのないよう(笑)．

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整数部分と小数部分

ガウス記号を記号の形のままで処理(計算)するのは，なかなか難しいです．そこで，xを

　 $x=n + \alpha$ 　( $n$ は整数， $0 \leqq \alpha < 1$ )

というように，整数部分と小数部分に分けて考えるといい場合があります．たとえば，以下のような性質を説明するのに適しています．

$[ x + m ] = [ x ] + m$ 　( $m$ は整数)
$[ x + y ] \geqq [ x ] + [ y ]$
$\displaystyle{ [ x ] + \left[ x + \frac{1}{2} \right] = [ 2x ] }$

1.は，自明といってもいい内容です．
2.ですが，言葉で表現してみると「xの小数部分とyの小数部分の和が1よりも大きいときには，[x + y] = [x] + [y] + 1 > [x] + [y]となる．」ということです．
3.についても，2.と同じように考えることができます．x+1/2が，[x]+1よりも大きくなるかならないか([x]+1を超えるか超えないか)で場合分けを考えます．これは，xの小数部分が1/2よりも大きいか小さいかの場合分けと言い換えることができます．場合分けをし，左辺・右辺それぞれを計算して等号が成立することを示します．これを一般化すると，

　 $\displaystyle{ \sum_{k=0}^{N-1} \left[ x+ \frac{k}{N} \right] = [ Nx ]}$