せっかくなので,ガウス記号の問題を2題ほど解説してみたいと思います.
問題1
次の和を求めよ.
解答1
こういう問題は,試行錯誤をいろいろしてみて道筋を見つけることが大事です.ここはベタに和を書き下してみます.
赤字のところが「境界」となり,そこまでは同じ値が続く形となります.言い換えると,数列:は,群数列のような数列だということです.このようにとらえなおすと,「1つの群(同じ値が続くかたまり)に,いくつの数が含まれているのか」を数えればいいことがわかります.
ここまで話を展開できれば,8割はできたも同然です.上で書いていることを具体的にして
「第 群(から)には,いくつの項が含まれているか」
と言い換えることで,項が含まれるとわかります.
よって,求める和は「第 群には,値 が 個ある」ことを用いて,
となります.*1
第 群に含まれる項数を計算していますが,逆に「1から順に奇数を加えると,平方数になる」という四角数の知識があると,上記の内容は比較的すんなり導けるのかな?と思ったりもします.
もう1問は,次回に.もう少し濃い目のものを扱います.
*1:項が「そろっている」のは,第n-1群までで第n群には「nが1つ」しかないことに注意.また,左辺の kと右辺の kは別物であることにも注意.