「2016年東大前期理系数学第5問(整数問題)」のメモ

今年は「あまり」に絡んだ整数問題があちこちで出されていますね．先に書いた京大の問題もそうですし．
東大の問題からも，整数問題(小数問題？)を取り上げておきます．

この問題，小数部分に関する問題という書き方*1ですが，以前書いたガウス記号の話と進め方はほぼ同じです．最後には，ガウス記号そのものも登場してきますし(とは言っても，ガウス記号らしいことは結局何もしないのですが)．
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(1)も(2)も，長ったらしい小数部分は一度 $\alpha$ とでも置いてしまい，
　 $P^2 \leqq n < Q^2$ 　や　 ${P'}^2 \leqq m < {Q'}^2$

の形にして，「差 $Q^2-P^2$ がどのくらいの幅(差)を持つのか」や「 ${Q'}^2-{P'}^2$ が1よりも大きくなるか」を見極めることになります．幅(差)が1よりも大きければ，その区間には必ず整数が含まれますよね．数直線上で考えてみればわかりやすいと思います．
その際に，式に現れてくる「小数部分同士の和や積が1よりも大きくならないか」という評価をしてあげることになります．(2)では「 $5 \cdot 10^{k-1}$ 以上」というものが唐突に出てくる感じですが， $\displaystyle{ 5 \cdot 10^{k-1} = \frac{1}{2} \cdot 10^k }$ と言い換えることができれば，必然的であることは理解できると思います．*2

(3)がある意味拍子抜けです．(1)(2)が変な前振りになっていて，単純な「背理法の話」であることを隠しているように見えます． $\sqrt{s}$ が無理数でないとすると， $\sqrt{s} = [ \sqrt{s}]$ になっちゃいますからね．一応，以下が参考ということになるでしょうか？
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