ちょっと面白い積分 - みをつくしのひとりよがり

たまたま見かけた問題です．なかなか面白いと思うので載せておきます．
※すいません，TeXをゴリゴリ書いてしまったので表示が重いかもしれません．

問題

$x$ の小数部分を $\langle x \rangle$ と表すとき，次の値を求めよ．
　 $\displaystyle{ \int_0^2 \langle x^2 \rangle dx }$

「小数部分」となっていますが， $\langle x \rangle = x - [ x ]$ とガウス記号の問題に置き換えられます．過去にも何回かガウス記号に関するネタを書いていますが*1，「計算する」というよりも「その意味を考える」という方が解きやすくなります．
いまの場合であれば， $x^2$ が「0と1の間をとるとき」「1と2の間をとるとき」…というように推移するイメージが持てればＯＫです．

ちなみに， $y = \langle x^2 \rangle$ のグラフは， $x$ が大きくなるにつれて目の間隔が小さくなるノコギリのような概形になります．

というわけで，

解答

　 $\begin{align} &\int_0^2 \langle x^2 \rangle dx \\ &= \int_0^2 \left( x^2 - [ x^2 ] \right) dx \\ &= \int_0^2 x^2 dx - \left\{ \int_0^1 [ x^2 ] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [ x^2 ] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [ x^2 ] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [ x^2 ] dx \right\} \\ &= \int_0^2 x^2 dx - \left\{ \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx \right\} \\ &= -\frac{7}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 0.812931 \end{align}$

となります．

オマケの発展形というか一般形

$\begin{align} &\int_0^n \langle x^2 \rangle dx \\ &= \int_0^n \left( x^2 - [ x^2 ] \right) dx \\ &= \int_0^n x^2 dx - \int_0^n [ x^2 ] dx \\ &= \int_0^n x^2 dx \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ - \left\{ \int_0^1 [ x^2 ] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [ x^2 ] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [ x^2 ] dx + \cdots + \int_{\sqrt{n^2-1}}^n [ x^2 ] dx \right\} \\ &= \int_0^n x^2 dx \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ - \left\{ \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \cdots + \int_{\sqrt{n^2-1}}^n (n^2-1) dx \right\} \\ &= \frac{n^3}{3} - \Bigl\{ \left( \sqrt{2} - 1 \right) + 2 \cdot \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right) \Bigr. \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Bigl.+ 3 \cdot \left( \sqrt{4} - \sqrt{3} \right) + \cdots + (n^2-1) \cdot \left( n - \sqrt{n^2-1} \right) \Bigr\} \\ &= -\frac{2}{3} n^3 + n + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{n^2-1} \\ &= -\frac{2}{3} n^3 + n + \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{k} \\ &= -\frac{2}{3} n^3 + \sum_{k=1}^{n^2} \sqrt{k} \end{align}$

下から3行目の和については，数列で一般項が $a_n = f(n)-f(n+1)$ の形に表されるときの総和の求め方に似ています．
　 $\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k &= \left( f(1)-f(2) \right) + \left( f(2)-f(3) \right) + \cdots + \left( f(n)-f(n+1) \right) \\ &= f(1)-f(n+1) \end{align}$

この計算について，以下で追加の考察をしています．
「ちょっと面白い積分」の補足メモ - 理系男子の独り善がり

*1:以下もろもろです．ガウス記号 - 理系男子の独り善がりガウス記号のおまけ～その1～ - 理系男子の独り善がりガウス記号のおまけ～その2～ - 理系男子の独り善がり