円 vs 内接正多角形 vs 外接正多角形 - みをつくしのひとりよがり

※今回も TeXを結構「盛った」ので，表示が遅いかもしれません．

前回の続きです．タイトルは「さて誰が勝つのか？」みたいに書いてますが，勝つのは明らかに「円さま」です．*1
miwotukusi.hatenablog.jp

ここの最後の方で，
　同じ $n$ に対して外接正多角形の方が内接正多角形よりも円から「離れて」いて，

と書きましたが，これを調べようと思います．面積で比較しようかと思ってましたが，素直に長さで考えることにします．

話の大筋

同じ $n$ に対して，内接正 $n$ 角形と外接正 $n$ 角形のどちらが円周に近いかをそれぞれの周の長さを用いて考えてみます．上で書いたように，外接正多角形の方が離れているのであれば，円周の長さからの差の大小について
　 $2 \pi r - I_n < O_n - 2 \pi r$

が成り立ちます．この不等式をちょっと変形すると，
　 $\displaystyle{ 2 \pi r < \frac{I_n + O_n}{2} }$

となります．これを図形的なイメージで言えば，「外接正多角形の周の長さと内接正多角形の周の長さの平均」が円周よりも大きい(外接の方がズレが大きい)ということになります．
具体的に $I_n, \ O_n$ を代入して，
　 $\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( n \cdot \sin{ \frac{\pi}{n} } \times 2r + n \cdot \tan{ \frac{\pi}{n} } \times 2r \right) - 2 \pi r >0 }$

を示すことを考えます．

もうちょっと問題(計算内容)を整理

上の不等式の左辺をもう少し整理すると，
　 $\displaystyle{ n \cdot \left( \sin{ \frac{\pi}{n} } + \tan{ \frac{\pi}{n} } \right) - 2 \pi >0 }$

さらに両辺を $\pi$ で割って， $x \equiv \pi / n$ と置くと，*2
　 $\begin{align} \frac{1}{x} ( \sin{x} + \tan{x} ) - 2 &> 0 \\ \frac{\sin{x}}{x} \left( 1 + \frac{1}{\cos{x}} \right) &> 2 \end{align}$

$n=3$ でなければ $x<1$ となるので，左辺については $0 < x < 1$ が考えるべき $x$ の範囲となります．*3
改めて， $\displaystyle{ f(x) \equiv \frac{\sin{x}}{x} \left( 1 + \frac{1}{\cos{x}} \right) }$ として考えることにします．

まず，もとの $n$ が大きくなると $x \rightarrow 0$ となりますが，このとき $f(x) \rightarrow 2$ となります．正多角形がどんどん円周に近づいていく様子を表しています．なので， $0 < x < 1$ において $f(x)$ が単調増加することが示せれば，上の不等式が示されることになります．

では，計算

では， $f(x)$ を微分します．「商の微分」が出てきますが，公式は積の微分をあとで通分しているだけなので，普通に積の微分を実行するだけでもいいです．*4
　 $\begin{align} f'(x) &= \left\{ \frac{\sin{x}}{x} \right\}' \cdot \left( 1 + \frac{1}{\cos{x}} \right) + \frac{\sin{x}}{x} \cdot \left\{ 1 + \frac{1}{\cos{x}} \right\}' \\ &= \left( \frac{\cos{x}}{x} - \frac{\sin{x}}{x^2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{\cos{x}} \right) + \frac{\sin{x}}{x} \cdot \left\{ - \frac{(-\sin{x})}{\cos^2{x}} \right\} \\ &= \frac{1}{x^2 \cos^2{x}} \left\{ x (1+\cos^3{x}) - \sin{x}\cos{x}(1+\cos{x}) \right\} \\ &= \frac{1+\cos^3{x}}{x^2 \cos^2{x}} \left( x - \frac{\sin{x}\cos{x}}{1-\cos{x}+\cos^2{x}} \right) \end{align}$

だいぶ面倒な式が出てきてしまいました．でも，もうちょっと頑張ってみます．
括弧の前の部分は正となるので，括弧の中身が正であることを調べます．というわけで，括弧の中身をさらに $g(x)$ と置きます．
そして，また微分をします．
　 $\begin{align} g'(x) &= 1 - \frac{1}{(1-\cos{x}+\cos^2{x})^2} \left\{ (\cos^2{x}-\sin^2{x})(1-\cos{x}+\cos^2{x}) - \sin{x}\cos{x} (\sin{x}-2\sin{x}\cos{x}) \right\} \\ &= \frac{1}{(1-\cos{x}+\cos^2{x})^2} (\cos^3{x}-2)(\cos{x}-1) \end{align}$

分子の計算が大変ですが，すべての項を $\cos$ で書き下せ，最後は因数分解された形になります． $\cos{x}<1$ ですから， $g(0)=0$ であることと合わせて考えると $g(x)>0$ が示されます．そして， $f'(x) > 0$ であり $f(x)$ が単調増加であることが示されました．

予想どおり，同じ $n$ であれば内接正多角形の方がより円周に近い(精度が高い)ことがわかりました．
実際にグラフを見てみると，外接正多角形の方が「遠い」んだなあという様子がよくわかります．

図の説明
青い実線は $\displaystyle{ y=\pi \cdot \frac{\tan{x}}{x} }$ ，赤い実線は $\displaystyle{ y=\pi \cdot \frac{\sin{x}}{x} }$ ，
線上に打たれている点は $n=4, \ \cdots \ , \ 12$ (右から左の順番)として与えられる点である．
点線の式は上から順に緑色： $y=3.23$ ，黒色： $y=\pi$ ，赤色： $y=3.05$ ，

微分にさらに微分を用いるといったややこしいことをしていますが，「そもそも示したいことは何？」をしっかり理解していれば難しい話ではありません．

もとの式において， $f(x) > 2$ であることを示したい．
$f(x) \rightarrow 2 (x \rightarrow 0)$ であるので， $f(x)$ が単調増加であることを示したい．
$f'(x)>0$ を示すために， $g(x)>0$ であることを示したい．
$g'(x)>0, \ g(0)=0$ より， $g(x)>0$ である．

こういうところは，複雑な計算に追われてしまうと見失いがちですね．

似たような内容としては，こういう流れをとる問題もあります．

もとの式において， $h(x) > 0$ であることを示したい．
$h(0)=0)$ であるので， $h(x)$ が単調増加であることを示したい．
$h'(x)>0$ を示したいが，これだけではうまく示せない．(→1階微分だけでは示せない)
$h''(x)>0, \ h'(0)=0$ より， $h'(x)>0$ であることから示す．(→2階微分までして示す)

ややこしければ， $h'(x) = H(x)$ とでも一度置き換えて(1階微分の話として，もとの関数の増減を考えるようにして)，話の筋道を整理するのも一手だと思います．
単に関数の単調増加や単調減少を言うのではなく，初期値(いまの話であれば， $x=0$ のときの値)も合わせて述べなければならないことも忘れないように．

*1:大きさだけなら，外接正多角形ですが．

*2:本来は離散的な関数ですが，大小関係をみるために連続関数に置き換えて話を進めます．

*3: $n=3$ のときは代入して確認すればいいし，まとめて $\displaystyle{ 0 < x < \frac{\pi}{2} }$ で考えるとしてもよい．

*4:そのように考えることの代償として， $\displaystyle{ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{f(x)} \right) = - \frac{f’(x)}{\left\{ f(x) \right\}^2} }$ という合成関数の微分を使うことになります．