「2021年阪大物理第2問」のメモ - みをつくしのひとりよがり

第2問は，送電線における消費電力の問題です．等価回路として図2で与えられる交流回路を考え，最後に具体的な値を計算します．

問1 消費地での消費電力

図2に書かれている電流： $i_r(t)$ は，単に電圧を抵抗で割ったものとして与えられるので，
　 $\displaystyle{ P_A(t) = v(t) \cdot i_r(t) = \frac{V^2}{r} \sin^2{\omega t} }$

問2 消費地での電流の最大値

電流の最大値を $I_r$ と表すことにすると， $P_A(t) = V \sin{\omega t} \cdot I_r \sin{\omega t} = V I_r \sin^2{\omega t}$ となり，時間平均をとれば，
　 $\begin{align} \overline{P_A} &= \frac{1}{2} V I_r \\ I_r &= \frac{2 \overline{P_A}}{V} \end{align}$

問3 コンデンサーに流れる電流の最大値

コンデンサーは消費地の抵抗： $r$ に並列に接続されているので，かかる電圧は $v(t)$ となり，キルヒホッフの第2法則から，
　 $\displaystyle{ V \sin{\omega t} = \frac{Q(t)}{C} }$

電流は電荷の時間変化量として与えられるので，微分を使ってしまえば，
　 $\displaystyle{ i_c(t) = \frac{d Q(t)}{dt} = \omega C V \cos{\omega t} }$

問4 $i_r(t), \ i_c(t)$ を合成した電流の最大値

ベクトル図を描いて導くのが通常なのでしょうが，シンプルに三角関数の合成からも，
　 $\begin{align} i_r(t) + i_c(t) &= I_r \sin{\omega t} + I_c \cos{\omega t} \\ &= \sqrt{ {I_r}^2 + {I_c}^2 } \sin{(\omega t + \phi)} \end{align}$

より， $\displaystyle{ I_R = \sqrt{ \left( \frac{2 \overline{P_A}}{V} \right)^2 + ( \omega C V )^2 } }$

問5 2本の送電線全体で消費する電力

抵抗： $R$ に $I_R(t)$ の電流が流れるので，2本あることに注意して，
　 $P_B(t) = 2 \times R \cdot {I_R(t)}^2 = 2 R I_R \sin^2{\omega t}$

この時間平均は， $\overline{P_B} = R {I_R}^2$

問6 $\overline{P_B}$ を最小にする

問題文に書かれているとおり，相加・相乗平均の関係を用いると，
　 $\displaystyle{ \overline{P_B} = 2 R \cdot \frac{(2 \overline{P_A}/V)^2 + (\omega C V)^2}{2} \geqq 2 R \cdot \sqrt{ \left( \frac{2 \overline{P_A}}{V} \right)^2 (\omega C V)^2 } = 4 R \omega C \overline{P_A} }$

最小となるとき(等号が成立するとき)は， $\displaystyle{ \left( \frac{2 \overline{P_A}}{V} \right)^2 = (\omega C V)^2 }$ のときとなるので，そのまま $V$ を求めれば， $\displaystyle{ V_{\rm{min}} = \sqrt{ \frac{2 \overline{P_A}}{\omega C} } }$

問7 送電線で消費される電力の算出

定義されている数値をそれぞれの変数に対応づけしていきます．問題冒頭の文章に「単位」がしっかり書いてあるので，そこを見ながらやっていくといいと思います． $\mathrm{\mu} = 10^{-6}$ ってところも，計算し始めて「あれ？あぁ・・・」となるところかもしれません．

消費地での交流電圧の最大値が $500 \mathrm{kV}$ → $V = 500 \times 10^3 = 5 \times 10^5 \mathrm{[V]}$
$60 \mathrm{Hz}$ の正弦波の交流 → $\omega = 2 \pi \times 60 \mathrm{[rad/s]}$ (周波数と「角」速度の対応づけがポイント)
送電線の抵抗は $1 \mathrm{km}$ あたり $0.10 \mathrm{\Omega}$ → $R = 100 \times 0.10 = 10 \mathrm{[\Omega]}$ (直列接続の合成抵抗)
送電線間の電気容量は $1 \mathrm{km}$ あたりに $0.10 \mathrm{\mu F}$ → $C = 100 \times (0.10 \times 10^{-6}) = 10^{-5} \mathrm{[F]}$ (並列接続の合成容量)
消費地で $100$ 万 $\mathrm{kW}$ → $\overline{P_A} = 10^6 \times 10^3 = 10^9 \mathrm{[W]}$

それぞれを代入して，
　 $\begin{align} \overline{P_B} &= 10 \cdot \left\{ \left( \frac{2 \cdot 10^9}{5 \times 10^5} \right)^2 + \left( 2 \pi \times 60 \cdot 10^5 \cdot 5 \times 10^5 \right)^2 \right\} \\ &= 10 \cdot \left\{ \left( 4 \times 10^3 \right)^2 + \left( 600 \pi \right)^2 \right\} \\ &\fallingdotseq 10 \cdot \left( 1.6 \times 10^7 + 0.324 \times 10^7 \right) \\ &= 1.924 \times 10^8 \end{align}$