「2021年阪大物理第3問」のメモ - みをつくしのひとりよがり

第3問は大問でも小問でもない「中問」ぐらいの問題が2つ出てきます．ですが，今回は大問＋小問という感じです．そして，このAが今回メモを書いている中で一番いやらしいと感じた問題です．
そのAの問題設定自体はシンプルなのですが，数式変形に追われる感じで，物理をやってる感覚が得られにくいと思いました．まあ，大学の物理はそんなものではあるのですが…というテーマの問題なのかとも思いつつ．
Bの問題も，「物理的」というのは入り口だけで，あとは誘導と条件に従って数式をいじっていく感じです．

Aの問題は，ゴム風船をシリンダーとばねで模した装置を考えています．

I ピストンを固定した場合

ばねのことは考えなくていいので，簡単ですね．

問1 温度変化に対して流入する熱量

熱力学第1法則において，外部へする仕事がゼロなので，
　 $\displaystyle{ \Delta Q = \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T }$

II ピストンを固定しない場合

まだ，なんとかいけるかな？ですね．

問2 つり合いの式

気体の圧力による力は (圧力)×(断面積)であり，これがばねからはたらく力とつり合うので，
　 $\begin{align} \frac{nRT}{V} \cdot S &= kx \\ \frac{nRT}{xS} \cdot S &= kx \\ x &= \sqrt{ \frac{nRT}{k} }\end{align}$

問3 温度変化に対して流入する熱量パート2

熱力学第1法則において，

内部エネルギーの変化量は，まさに温度変化にともなう分だけ： $\displaystyle{ \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T }$
外部へする仕事は，ばねの位置エネルギーの変化量と考えて $\displaystyle{ \Delta W = \frac{1}{2} k (x + \Delta x)^2 - \frac{1}{2} k x^2 }$ ．ここへ問2の結果を用いると， $\displaystyle{ \Delta W = \frac{1}{2} n R \Delta T }$

よって，流入する熱量は
　 $\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 2 n R \Delta T$

で、熱容量とは「対象(いまの場合は気体)の温度を単位温度( $1 \mathrm{[ C^{\circ} ]}$ )だけ上昇させるために必要な熱量」のことですので，
　 $\displaystyle{ C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = 2 n R }$

III さらに，外力を作用させる場合

ここからが，カオスのはじまりです．

問4 ピストンが静止しているときの位置

図1の右を参考にしながら，つり合いの式を立てると，
　 $\begin{align} kx &= pS + F \\ kx &= \frac{n R T }{x} + F \end{align}$

これは， $x$ の2次方程式： $kx^2 - Fx - nRT =0$ となります． $x \geqq 0$ であるので，
　 $\displaystyle{ x = \frac{1}{2k} \left( F + \sqrt{ F^2 + 4knRT } \right) }$

問5 式変形とグラフ

まずは，式を変形します．問4の結果の両辺を $x_0$ で割って，
　 $\begin{align} \frac{x}{x_0} &= \frac{1}{2k x_0} \left( F + \sqrt{ F^2 + 4knRT } \right) \\ &= \frac{1}{2 F_0} \left( F + \sqrt{ F^2 + 4knRT } \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{F}{F_0} + \sqrt{ \left( \frac{F}{F_0} \right)^2 + \frac{4knRT}{{F_0}^2} } \right\} \end{align}$

ここで， $\displaystyle{ x_0 = \frac{1}{2k} \sqrt{ 4knRT } }$ より $\displaystyle{ \frac{4knRT}{(k x_0)^2} = 4 }$ となるので，
　 $\displaystyle{ \frac{x}{x_0} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{F}{F_0} + \sqrt{ \left( \frac{F}{F_0} \right)^2 + 4 } \right\} }$

このような式の処理を無次元化といいます．それぞれの変数に基準(いまの問題では $x_0$ や $F_0$ )を置いて整理すると，変数の間にある関係をシンプルに表すことができるようになります．もとの変数についていた係数を削ぎ落として，関係だけをみやすくするというイメージです*1．

$\displaystyle{ \frac{x}{x_0} \equiv y, \ \frac{F}{F_0} \equiv z }$ とでも一度置いて，もう少し変形を進めてみると*2，
　 $\displaystyle{ y = \frac{1}{2} \left( z + \sqrt{ z^2 + 4 } \right) = \begin{cases} z \ (z \rightarrow +\infty) \\ \\ 0 \ (z \rightarrow -\infty) \end{cases} }$

このようにして，グラフの漸近線が与えられます．

問6 「実効的なばね定数」の変化

外力は「気体を膨張させる」という作用もするので，それを加味したばね定数を考えましょうという問題です． $k_{\mathrm{eff}}$ の effは，おそらく effective(「有効な」というよりも「実効的な」と言った方がわかりやすいかも)の略だと思います．物理学ではちょくちょく登場する単語です．
ここでは，さきほど置いた $y, \ z$ を用いて考えてみます． $\displaystyle{ F_0 = k x_0, \ \frac{\Delta x}{x_0} = \Delta y, \ \frac{\Delta F}{F_0} = \Delta z }$ より， $\displaystyle{ \frac{k_{\mathrm{eff}}}{k} = \frac{1}{k} \cdot \frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{\Delta z}{\Delta y} }$ と表すことができます．

ひとつポイントを挙げておくとすれば，ここでは
「状態 $(x, \ F)$ と状態 $(x+ \Delta x, \ F + \Delta F)$ の間でおこる変化を考えているので，それぞれの状態に対する式を立てて，微小変化の間の関係を調べる」
ということをします．

(a)： $\displaystyle{ \frac{F}{F_0} = z }$ が限りなく大きいとき

$\sqrt{}$ の中の $4$ は無視されると考えれば，
　 $\displaystyle{ y = \frac{1}{2} (z + z) = z }$

これは，状態 $(x, \ F)$ に対する式です．この式から状態 $(x+ \Delta x, \ F + \Delta F)$ の式を導いて，上の式を用いると，
　 $\begin{align} y + \Delta y &= z + \Delta z \\ \Delta y &= \Delta z \\ \frac{\Delta z}{\Delta y} &= 1 \end{align}$

よって，求める比はそのまま $\displaystyle{ \frac{k_{\mathrm{eff}}}{k} = 1 }$

(b)： $\displaystyle{ \frac{F}{F_0} = z = 0 }$ のとき

上のポイントにならって整理しておくと，状態 $(x, \ 0)$ と状態 $(x+ \Delta x, \ 0 + \Delta F)$ の間でおこる変化を考えていることに注意をします．
$z$ が $1$ よりも十分に小さいときを考えます．今度は， $\sqrt{}$ の中は $4$ になると考えて，
　 $\displaystyle{ y = \frac{1}{2} ( z + 2 ) }$

状態 $(x+ \Delta x, \ F + \Delta F)$ の式を導くと，
　 $\begin{align} y + \Delta y &= \frac{1}{2} ( z + \Delta z + 2 ) \\ y + \Delta y &= y + \frac{1}{2} \Delta z \\ \frac{\Delta z}{\Delta y} &= 2 \end{align}$

よって，求める比も $\displaystyle{ \frac{k_{\mathrm{eff}}}{k} = 2 }$

で，この結果なに？という話になるのですが，外力が小さいときの $k_{\mathrm{eff}}$ は考えているばね(ゴムの弾性力による反発の程度)より大きな値となり，外力が大きくなると考えているばねとほぼ同じ値になるという結果を得ます．これは，風船の膨らませやすさ(吹き始めにやたら勢いがいる)につながっていると思います．

ところで， $\displaystyle{ \frac{\Delta F}{\Delta x} }$ とは，問5で描いたグラフの傾きの逆数になっています．傾きということは，単純に微分を使えば，
　 $\displaystyle{ y' = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{z}{\sqrt{ z^2 + 4 }} \right) }$

$z \rightarrow +\infty$ としたときの値は $y' \rightarrow 1$ ， $z = 0$ のときの値は $\displaystyle{ y'(0) = \frac{1}{2} }$ と，あっさり片付きます．(求めたい比は，この逆数)

Bの問題は，互いの距離に比例した引力がはたらく系の問題です．入り口さえ突破できれば，あとは難しくないはずです．

問7 量子条件とエネルギー準位

(a)：「ばねの持つ位置エネルギー」と同等と考えることができれば，公式どおりです．動径方向に原点から $r$ だけ動かすときにした仕事と同じと考えれば，
　 $\displaystyle{ \int_0^r k s \ ds = \frac{1}{2} k r^2 }$

(b)は，力のつり合いを考えて
　 $\displaystyle{ \frac{M v^2}{r} = k r }$

(c)：これらの和である力学的エネルギーは， $\displaystyle{ K = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2}k r^2 }$ と与えられることから，
　 $\displaystyle{ E = \frac{1}{2} k r ^2 + \frac{1}{2} k r^2 = k r^2 }$

(d)：京大さんの第3問では，物質波(ド・ブロイ波)の波長が与えられていましたが，こちらでは覚えておかないとダメです．(b)の式から $v$ を消去することを考えて，
　 $\displaystyle{ \lambda _B = \frac{h}{M v} = \frac{h}{r \sqrt{k M}} }$

(e)：「(ボーアの)量子条件」を課し，半径に対する制限を示します．
量子条件を式に表すと，
　 $n \lambda_B = 2 \pi r_n$

(d)で求めた $\lambda_B$ を代入して整理すれば，
　 $\displaystyle{ r_n = \sqrt{ \frac{n h}{2 \pi \sqrt{ k M }} } }$

全エネルギー： $E_n$ は，(c)の結果を用いて，
　 $\displaystyle{ E_n = k {r_n}^2 = \frac{h}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{M} } n }$ 　(f)

さらに，「(ボーアの)振動数条件」も課されます．エネルギーの差を持った光子が放出されるという条件です．エネルギー差は差だけなので，
　 $\displaystyle{ \Delta E_{\ell n} = \frac{h}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{M} } (\ell - n) }$ 　(g)