「2023年京大物理第2問」のメモ - みをつくしのひとりよがり

京大さん第2問です．ガウスの法則から球形コンデンサーの電場を考え，それを光電子のエネルギー測定をする装置として利用することを考えていきます．

(1) ガウスの法則

[イ] 共通テストでも出てきていたお約束な問いです．書かれているとおりに，電気力線の本数を $N$ として式を書き下せば，
　 $\displaystyle{ k \frac{Q}{r^2} = \frac{N}{4 \pi r^2} }$

(2) 導体球の帯電

[ハ]～[ニ] 電荷は導体表面に分布し，導体球の外側から見れば点電荷と同じ扱いとなります．
逆説的な表現になりますが，導体内の電場がなくなることで，導体表面の電荷分布が一様となり静的な状態になります．ですので，電場の強さは 0となります．電位については，無限遠へ +1 Cの電荷を運んでくることを考えれば，
　 $\displaystyle{ \int_r^{\infty} E(R) dR = \int_r^a 0 \ dR + \int_a^{\infty} k \frac{Q}{R^2} dR = k \frac{Q}{a} }$

(3) 中空導体球

(2)の導体球を『中空の導体球』で囲い込みます．この中空の導体球を球殻と呼ぶこともあります．少し文章が長いですが，

中空導体球Bは，静電誘導により内側の面に $-Q$ ，外側の面に $+Q$ の電荷が一様に分布するようになります．
$b < r < b+d$ すなわち Bの内部は導体の内部ですので，電場の強さは 0に変化し，
$r \geqq b+d$ すなわち Bの外側では，(2)のときと同様に点電荷と同じ扱いになります．

[ホ] そして，『導体球Aと中空導体球Bに挟まれた領域 $a < r < b$ においても，(2)の状態から電場が変化していない』ということなので，この区間の電位差は，
　 $\displaystyle{ V(a) - V(b) = k \frac{Q}{a} - k \frac{Q}{b} = kQ \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) }$

問1 電位のグラフ

外側から順に考えていく方が，わかりやすいかと思います．

$b+d \leqq r$ での電位は，上でも求めているとおり $\displaystyle{ V(r) = k \frac{Q}{r} }$
$r = b+d$ での電位は，上の式から $\displaystyle{ V(b+d) = k \frac{Q}{b+d} }$
$b < r < b+d$ では電場の強さは 0なので， $V(r) = V(b+d) = V(b)$ となります．
そして， $a < r < b$ では $\displaystyle{ V(r) = V(b) + \int_r^b k \frac{Q}{R^2} dR = k \frac{Q}{b+d} + kQ \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{b} \right) = kQ \left( \frac{1}{b+d} + \frac{1}{r} - \frac{1}{b} \right) }$
$r < a$ では，また電場の強さが 0になるので， $V(r) = V(a)$ となります．

(4) 球形コンデンサー

[ヘ] 中空導体球Bを接地(アース)すると，外側の表面にあった電荷 $Q$ が地表に流れます．
[ト] 接地しただけで，AとBの電位差が変わるわけではないので，電位は[ホ]で与えられます．
[チ]コンデンサーとみなしたときの電気容量は， $Q = CV$ の式より，
　 $\displaystyle{ C = \frac{1}{k \left( \cfrac{1}{a} - \cfrac{1}{b} \right) } = \frac{ab}{k(b-a)} }$

(5) 円形の電場中を運動する電子

[リ] (4)で求めた球形コンデンサーの電気容量から，逆算をしていきます．電荷： $Q$ が与えられたときの電位差が[ホ]だったので，電位差： $V_0$ を与える電荷はどうなるのかを考えてみると， $\displaystyle{ Q' = C V_0 = \frac{ab}{k(b-a)} V_0 }$ となるので，電場の強さは，
　 $\displaystyle{ E'(r) = k \frac{Q'}{r^2} = \frac{ab}{(b-a) r^2} }$

[ヌ] その電場の中で等速円運動をして，スリット $S_2$ を通過する電子を考えます．電場と磁場の違いはありますが，今年の東大第1問の冒頭と似たような話になっています．向心力が電場により与えられる力となるので，
　 $\displaystyle{ m \frac{{v_0}^2}{r_0} = e \frac{ab}{(b-a) {r_0}^2} V_0 }$

左辺に $m {v_0}^2$ があるので，そこを利用して，
　 $\displaystyle{ \frac{1}{2} m {v_0}^2 = \frac{1}{2} \frac{ab}{(b-a) r_0} e V_0 =\frac{ab}{b^2-a^2} e V_0 }$

(6) 光電効果について

(5)の仕組みで電位差： $V_0$ を変えると，いろいろな運動エネルギーの光電子を抽出することができます．そこから，そのエネルギーの分布を与えることができるという話(光電子分光法)が書かれています．
[ル] 金属内部においてあるエネルギーをもった電子が飛び出すことを考えています．文章に忠実にエネルギー準位の図を描いていけば，足し算・引き算の世界です．
　 $\begin{align} h \nu &= K_S + W + (E_M - E_1) \\ K_S &= h \nu - W - (E_M - E_1) \end{align}$

$\nu$ は振動数ですので，波長の式に戻してあげます．

問2 光電子のエネルギー分布と最大エネルギー

まず，上で書いた $K_S$ の式で何が「変数」なのかをきちんと理解しなければなりません．逆に，それがきちんとわかれば難しい話ではないです．

$h \nu$ は，波長： $\lambda$ の単色光のエネルギーなので定数
$W$ は，仕事関数であり，その金属固有の値なので定数
$E_M$ は，エネルギー準位の最大値なので定数
$E_1$ は，自由電子のもつエネルギーであり可変

上の式でも， $(E_M - E_1)$ と括弧をつけていますが，これを $\Delta E$ とエネルギーの最大値からの差と見てもいいと思います．
仕事関数の上面を地面に見立てて，そこに長さ一定( $h \nu$ )の棒を突き刺してみます．地面から出ている長さが光電子の運動エネルギーに相当することになります．そんな感じでエネルギー準位の図を見ていけば，その運動エネルギーに上限(棒が $E_M$ まで差し込んでいるとき)があることがわかります．
その上限が，
　 $\displaystyle{ K_C = h \nu -W = \frac{hc}{\lambda} - W }$

として与えられます．分布の中身がわからなくとも，このような上限を与えているグラフは[３]しかありません．
逆に，[３]のグラフから，金属内部での自由電子のエネルギー分布は一様(詰まっている)ということがわかるわけです．

球形コンデンサーは，あちこちで出されている感じですね．なので，その応用に入るまでは確実にとっておきたいところです．ちなみに，大学物理の電磁気学でも，初っ端の方で出てくる内容でもあります．