みをつくしのひとりよがり

2022/08/10にブログ名を変えました．仕事や生活に役立ちそうな（実際に役立つかは別として）数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます．

「2026年同志社大(全学部理系)物理[II](電磁気)」のメモ

Phys-Ele Exam

こちらの同志社大さんの問題も取り上げてみます．
この問題，2024年に京大で出された「ドリフト」の発展版になります．このときは，一様ではない磁場による「磁場勾配ドリフト」というものを扱っていました．
miwotukusi.hatenablog.jp

今回は，さらに電場による外力も加わります．そして，そのときのドリフトは磁場と電場に垂直な方向に進んでいくものとなり，「ExBドリフト」と呼ばれます．先にこの情報だけでもあれば，問題の途中で出てくる「違和感」にも少し慣れられるかなと思います．
あと，この問題は，図の上で考えることが多い問題です．どうしても言葉での表現が難しいとか図が欲しいところには，図を差し入れていますが，言葉だけではわかりにくいところがあるかもしれません．問題に載せられている図にも書き込みながら見てもらえばと思います．

こちらも場面としては，3つに分かれています．

  • (II-1) 磁場のみがはたらくとき
  • (II-2) 磁場と電場がはたらくとき(初速度ゼロ)
  • (II-3) 磁場と電場がはたらくとき(初速度 = \sqrt{3}V )

(II-1) 磁場のみがはたらくとき：(ア)〜(ウ)

ここは標準的な問題になります．

(ア)〜(イ)
まずは，等速円運動の半径を求めます．磁場によるローレンツ力が向心力になることから，
　 \begin{align} m \frac{(2 v_0)^2}{r} 7&= q \cdot 2 v_0 B \\ r &= \frac{2m v_0}{qB} \end{align}

フレミングの左手の法則より，力の方向は x軸の正の方向から \displaystyle{ \frac{2}{3} \pi - \frac{1}{2} \pi = \frac{1}{6} \pi }の向きとなります．よって，円運動の中心の座標は，以下のようになります．
　 \displaystyle{ \left( r \cdot \cos{\frac{1}{6} \pi}, \ r \cdot \sin{\frac{1}{6} \pi} \right) = \left( \sqrt{3} \frac{m v_0}{qB}, \ \frac{m v_0}{qB} \right) }

(ウ)
ぐるっと回ってきて x軸に達するのは，時計回りに \displaystyle{ \frac{2}{3} }周したところとなります．「円運動の周期から」としてもいいですが，シンプルに \displaystyle{ \frac{2}{3} }周の長さを円運動の速さ： 2 v_0で割って，
　 \displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot 2 \pi r \div (2 v_0) = \frac{4}{3} \pi \frac{m}{qB} }

(II-2) 磁場と電場がはたらくとき(初速度ゼロ)：(エ)〜(キ)

初速度 0で原点に荷電粒子をおくと，初速度がなくとも，電場により y軸の正の方向へ動き出すことで運動が始まります．で，その運動を解析するところで急に『x軸正の向きのある一定の速さを V』としたものが現れます．実は，これがドリフト運動の速さになっています．そんなこと知らなくても，言われたとおりにまずは受ける力を計算していきます．

(エ)
言われたとおりに計算するといっても，これ結構厄介です．
電場による力は，位置にも速度にも関係なく， (0, \ qE)と表されます．問題は，磁場による力です．下図にも記しているとおり，速度の xy成分をひっくり返すところまではいいとして，負号をどちらにつけるかという話になります．ここでは，先に x成分が与えられているので，y成分に負号をつければよいと判断できます．
もしこのような指定がないときは，図にもあるように速度成分がともに正のとき(右上方向に進んでいるとき)，力の方向は y方向は負の向きになっています．ということを考えて， (v'_y, \ -(v'_x + V))と与えることになります*1．

(2026/03/04追記)もう少しだけ細かい捕捉をしておきます．
上で与えている「垂直なベクトル」ですが，一度単位ベクトルとして出すのが正当というか真っ当な導出となります．つまりは，ベクトル自身の大きさで割って，
　 \displaystyle{ \overrightarrow{e_{\perp}} \equiv \frac{1}{\sqrt{ {v'_y}^2 + (-(v'_x+V))^2 }} \left( v'_y, \ -(v'_x + V) \right) }

そして，荷電粒子の速度ベクトルを \overrightarrow{v''} = (v'_x + V, \ v'_y)とすると，磁場による力の大きさは q | \overrightarrow{v''} | B = q v'' Bと与えられるので，磁場による力のベクトルは，
　 \begin{align} q v'' B \ \overrightarrow{e_{\perp}} &= q \cancel{ \sqrt{(v'_x+V)^2 + {v'_y}^2} } B \cdot \frac{1}{ \cancel{ \sqrt{ {v'_y}^2 + (-(v'_x+V))^2 } } } \left( v'_y, \ -(v'_x + V) \right) \\ &= qB \ \left( v'_y, \ -(v'_x + V) \right) \end{align}

2026年同志社大(全学部理系)物理[II] 磁場による力の向き

結果，力の成分は以下のように与えられます．
　 \left( q v'_y B, \ qE - q (v'_x + V) B \right)

(オ)
「謎の速さ： Vを調整して，電場の効果(はたらく力)を消せ」という話になります．y成分の qE - qVBがゼロとなればいいわけです．そして，この \displaystyle{ V = \frac{E}{B} }がドリフト速度(の大きさ)となります．

(カ)
等速円運動の半径を求めればいいのですが，円運動の方向を間違うと答えも間違えます．
当初，荷電粒子は初速度ゼロで原点におかれていましたが，いまは相対運動を考えています．観測者Aさんから，この荷電粒子を見ていると，「x軸の負の向きに進み出す」ことになります．そして，その等速円運動の速さは Vです．
まずは，半径を求めると，
　 \begin{align} m \frac{V^2}{R} &= q V B \\ R &= \frac{mV}{qB} = \frac{mE}{qB^2} \end{align}

円運動は原点の位置がもっとも下(y座標の最小値)となるので，y座標の最大値は 2Rとして与えられます．

(キ)
上にも記しているとおり，ぐるっと回って x軸に達するのは，文字どおり「1周回って」になります．その間に x軸の正の向きに速さ： Vでドリフトしているので，その x座標は，
　 \displaystyle{ V \cdot \frac{2 \pi R}{V} = 2 \pi R = \frac{2 \pi mE}{qB^2} }

ぐるっと回ってきたら，ちょうど x軸にくることを繰り返していきます．この軌道は，サイクロイドになっています．

(II-3) 磁場と電場がはたらくとき(初速度 = \sqrt{3}V )：(ク)〜(ケ), (a)

ここからはできなくてもいいかなあとは思います．あることに気づいてしまわない限りは...
(II-2)のときと同様に，「相対運動」を考えてみます．すると，観測者Aさんから見た荷電粒子は「 (-V, \ \sqrt{3}V)の成分をもった初速度が与えられる」ことになります．これ，(II-1)のときというか，まさに図1の状況で 2 v_0 \to 2Vと置き換えたものになっているわけです．

(II-2)のときとの比較(倍率を求める)になっているので，以降では (II-2)のときの円運動の半径： Rを用いて話を進めます．

(ク)
円運動の半径はその速さに比例しているので，ここでの円運動の半径は 2Rとなっています．下に示している図のように，直径の 1/4だけ x軸より下に埋もれているので，そこに注意して最大値を求めます．

(ケ)
「相対運動として移動している変位」と「円運動自身における変位」の両方を考える必要があります．

  • まずは，x軸に戻ってくる時間を考えます．これは，(II-1)でも考えたように， \displaystyle{ \frac{2}{3} }周分です．
  • (II-1)の(ウ)のところに戻ってみると，この円運動自身で x軸の正の方向への変位があります．同様に，いまの運動でも，この分だけ加算されます．円運動の半径が変わっていることに注意すれば， 2\sqrt{3} Rだけ進んでいることがわかります．

これらを組み合わせると，求める答えは以下のようになります．
　 \displaystyle{ \left( V \cdot \frac{2/3 \cdot 2 \pi \cdot 2R}{2V} + 2 \sqrt{3} R \right) \div (2 \pi R) = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{\pi} }

次の (a)と合わせて，図を差し入れておきます．

2026年同志社大(全学部理系)物理[II] (ケ)と(a)

(a)
ここまで解くことができれば，最後の選択は難しくないと思います(ここまで解けているのでという意味で)．
等速円運動の点Aにおける速度ベクトルを考えると， (-V, \ -\sqrt{3} V)と表されます．このあと，原点に戻ってくるまで，速度ベクトルの x成分は -Vよりも小さくなります．すると，実際の軌道(ドリフト速度を含めた軌道)においても，この間の速度ベクトルの x成分は 0以下となります．つまりこの間では荷電粒子は，x軸の負の方向に運動していて，「後退」していることになります．
そして原点に戻ってきたときは「1周分の時間だけの移動かつ円運動自身による変位はゼロ」となっているので，(II-2)の 1周分と同じ位置(＝相対速度の大きさ： Vで，1周分の時間だけ移動した位置)になっています．
ということを見ていくと，選択肢は (2)ということになります．


見慣れないシチュエーションということもあって，なかなか骨のある問題だと思います．突如出てくる Vをすんなりと受け入れられるか，「相対運動」というところをきちんと理解しているか，あとは (II-1)が (II-3)の前振りになっていたことに気づけるかがポイントになってきます．
ExBドリフトについては，Wikipediaにも直接言葉は出てこないものの簡単に説明が書かれていたりします．
ja.wikipedia.org

*1:実は，ベクトルの「外積」という計算を用いると，機械的にこれは求められます．ただし，磁場の方向も含めた 3次元のベクトルとして計算をする必要もあり，ここでは x成分を与えておくことで，その部分をカバーされています．ちなみに，「フレミングの左手の法則」は，この外積の方向を表現したものになっています．