※2015/12/30 2回に分けて書くつもりでしたが，まとめることにしました．2015年は， 国際光年(IYL2015)だったり， 一般相対性理論誕生100周年だったり といろいろな記念の年になっていました． そして，「ニュートリノ振動の発見」に対するノーベル物理学賞の…

ちょうど「ハナタカ」を見ていて出てきたので、その理由をメモっておきます。 問題 からはじまる連続した 個の自然数の和を求めなさい。 高校数学であれば、等差数列の和の公式ですね。ハナタカさんの方法は、この公式をちょっと変形したものです。その公式…

高校数学の2次関数で「頂点」や「軸」が出てくるころに，のどの奥に引っかかるような感覚になるアレです．具体例を挙げると， 放物線：を x軸方向に +2だけ平行移動したものは，と表される．そうです，x軸の正の方向に「進んでいる」のに，式の上では「マイ…

時間が空いたのですが，おまけの第3弾を書いていきます．たまたま，最近見かけたある問題をきっかけにしています． 問題 次の式を満たす実数 をすべて求めよ． この問題は，次の数学オリンピック2009年予選問題を改題したものです． 実数 についての方程式 …

いつから書いてなかったのかも，忘れてしまうぐらいになってしまいました．今日は，「一言言いたい」的なことをつらつらと． 秋の日は釣瓶落とし といいますね．急に日が暮れるということで，夕刻の自転車事故が多くなる時期だそうです． 無灯火という法律違…

前回の最後に触れていた「疑問」ですが，わたしは以下のようなものが出てきました． まきが1周や2周だった場合，中間地点の位置はどうなるのか．なにか規則性のようなものは見つかるのか？ アルキメデスの螺旋以外に，蚊取り線香のまきを表せるような図形は…

先日，Eテレ2355金曜日の夜更かしワークショップで「蚊取り線香」を扱った内容が放送されていました．今回は，この内容を数学的に追っかけてみます． 元ネタ 夜更かしワークショップでは，「蚊取り線香のうず巻きの中間地点は，どのあたりなのか？」という問…

西日本から関東あたりまでは梅雨明けをしたようですね．最近，ネタを揉む時間があまりないせいか，純粋な数学や物理の話に向くことが多かったようです．たまには「役に立つかはつゆ知らず」な生活じみたネタも書いてみようかと． 料理は科学だ と言った人が…

では，濃い目の2問目です． 問題2 を満たし，互いに素である自然数 に対して，数列：を で定める． (1) 自然数 について，が で割り切れるとき，であることを示せ．(2) は相異なる 個の数であることを示せ．また， となることを示せ．(3) 次の値を求めよ． …

せっかくなので，ガウス記号の問題を2題ほど解説してみたいと思います． 問題1 次の和を求めよ． 解答1 こういう問題は，試行錯誤をいろいろしてみて道筋を見つけることが大事です．ここはベタに和を書き下してみます． 赤字のところが「境界」となり，そこ…

ガウス記号：[x]は，「xを超えない最大の整数」という定義が与えられますが，特に公式が与えられてたりするわけではありません．整数問題の一つという感じですね．ここでは，ちょっと角度を変えて見たりすることで，この記号の扱い方を整理してみたいと思い…

5月は更新ができませんでした．書きたいネタは，ちょこちょこと頭に出てくるんですが... 今回は，空き缶(円筒)とコンパスで遊んでみたいと思います．これらがあれば，簡単に試せる内容です． 問題 空き缶に紙を巻きつけ，そこへコンパスで円を描きます．巻き…

いろいろと気になるネタはあるのですが，更新が滞ってます．今回は歩くことを物理してみたいと思います．とはいっても，大雑把な内容です． 「歩くのが，ほかの人よりも速いですか？」 健康診断のアンケートで，このような問いを見かけます．みなさんは，こ…

またまた少し時間が経ちましたが，前回の続きです．もう少し突っ込んでみます． 数列の一般項 この数列は， もとの値を半分にするか(0から1/2の間に入るか) もとの値を半分にしてから，1/2加えるか(1/2から1の間に入るか) のいずれかをおこなって次の値を得…

東大をやったら京大もということで，ちょっと時間が経っていますが，こちらも1問ピックアップしてメモを残しておきたいと思います． 問題 2つの関数を とおく． から始め，各 について，それぞれ確率 で または と定める．このとき，となる確率を求めよ． 一…

受験生のみなさんは，一息ついているところでしょうか？あまり，息を抜きすぎると体調を崩してしまうかもしれないので，注意してくださいね． まだ，多くの大学の問題はWeb公開まで至っていませんが，その中で注目したのは東京大学前期理系数学第5問です．ざ…

以下，問いの解答です．計算過程は，だいぶ端折っていますので，気になる人はきちんと計算してください． 問1）この式を導きなさい． これは，図を描いて動点の座標がどのようにあらわされるかを導きます．と括弧を外した形で，それぞれがどの長さを表してい…

久々の更新で，もう2次試験が目の前まで迫ってしまいました．サイクロイドについて，ちょっと掘り下げてみます．いままでも，最速降下曲線であることとして登場していますが，今回は「振り子」の軌跡として高校数学＋高校物理の範囲で扱っていきます． 単振…

遅ればせながら，物理も解いてみました．なかなかいい問題ですね．公式や考え方をていねいに記して導いてくれるかと思えば，思わぬトラップが仕掛けられている．ゆえに，きちんと問うべきところは問うているが，しっかりとした物理的思考がないと満点は取ら…

さて，問題の数IIBです．対数は出てこないものの，「指数に死す(ぅ)」というところでしょうか・・・ 数IIB 第1問 [1]加法定理の逆が地味に登場する問題ですね．半径2の円周上を回る点Pとその点Pを中心に半径1で回る点Qという見方ができれば，冒頭のOP，OQは…

すでに，Yahooニュースでは「数2Bが難しすぎる」というコメントも出ていて，「いったいどんな問題が出たのか？問題自体の難易度なのか，量の問題なのか？」と気になっていました．そこで，一通り解いてみました．新課程用の問題を解きましたが，古い人間なの…

以下，解答のすすめ方を記していきます．整数問題としては定番ともいえる形なので，難易度はそう高くないはずです．ただ，扱っている数が比較的大きな数なので計算間違いを引き起こしやすい問題ではあります． 問題を式に表す まず，この問題の内容を式に表…

みなさまに発信するというよりは，自分の頭の中を整理するような感じで，ぼちぼち書かせてもらっています．今年も適当にお付き合いくださればと思っています． そして，センタ試験も近くなってきましたね．2次試験向きなごちゃごちゃしたことを書くのもなん…