「2024年阪大物理第2問」のメモ - みをつくしのひとりよがり

久しぶりに阪大さんの問題をメモします．阪大さんの問題について，昨年は部分的に取り上げていました*1．

電気回路の問題ですが，この問題の参考物件は以下となります．
2019年センター試験物理のメモ - みをつくしのひとりよがり
 「2019年センター試験物理第2問B」の補足 - みをつくしのひとりよがり
 「2019年センター試験物理第2問B」の補足～その2～ - みをつくしのひとりよがり

大本である一番上のネタの最後で「第2問Bは2次試験でも使えそうな内容なので，しっかり復習しておいた方がいいですね．」と記していました．また，今年の名古屋大でも同じような問題が出ていましたね．

基本的な流れとしては，回路の構成を変えながら「動かしました→一定の速さになりました」の問いを繰り返しています．なので，使う道具自体(公式)も繰り返し使うことになります．

誘導起電力の式
キルヒホッフの法則(第1・第2)
運動方程式

「誘導起電力の式を用いてキルヒホッフの法則を書き出し，そこから導体棒に流れる電流を求めます．その電流から導体棒にかかる力の大きさを求め，その終端速度の大きさを(加速度)＝0より導く．」これが解法の基本となります．最後の終端速度の条件は，定性的な見方で言い換えると「導体棒に電流が流れなくなる」条件と同じとなります．ですので，上の参考物件の中でも 2番目の補足のところがもっとも参考になると思います．

改めて，キルヒホッフの法則も記しておきます．

回路網の交点に流れ込む電流の代数和は 0である．
回路網の任意の閉じた回路に沿って 1周するとき，起電力の代数和は各部の電圧降下の代数和に等しい．(ただし，1周する向きに流れる電流を正とし，その向きに電流を流そうとする起電力を正とする．)

問題自体は，場面転換が多いこともあり，ボリュームもある感じです．

I. 導体棒の運動(シンプルバージョン)

I. は，さらに 3つのパートに分かれています．

抵抗2との閉回路の場合(スイッチ $\mathrm{S}_3$ のみを閉じたとき)
抵抗2と電池との閉回路の場合(スイッチ $\mathrm{S}_3$ と $\mathrm{S}_1$ を閉じたとき)
抵抗2とコイルとの閉回路の場合(スイッチ $\mathrm{S}_3$ と $\mathrm{S}_2$ を閉じたとき)

特に，パターンの 2つ目が上の参考物件と同じですね．

抵抗2との閉回路の場合(スイッチ $\mathrm{S}_3$ のみを閉じたとき)

問1 導体棒に発生する誘導起電力
時間： $\Delta t$ の間に，導体棒Pと抵抗2で囲まれた領域から $B \cdot v \Delta t \cdot d$ だけの磁束が減少するので，それにより生じる誘導起電力は， $\displaystyle{ V = \frac{B \cdot v \Delta t \cdot d}{\Delta t} = Bdv }$
問われているものは「大きさ」だけですが，向きも考えておきます．後の問題文でも出てくる『抵抗2を流れる電流のせいの向きは y軸の正の向き』としておくと，磁束が減少するのを妨げる向きに電流が流れるので，電流は正の向きに流れることになります．右ネジの法則を使えばいいですね．

問2 導体棒に加えている外力の大きさ
発生している誘導起電力により電流が発生し，その電流が磁界中を運動するときに受ける力を求めます．
磁界の強さを $B$ ，電流の大きさを $i$ ，力を受ける電流の長さを $\ell$ とすると，力の大きさは $f = B i \ell$ となります．わたしは「力の源はビール」と覚えています(笑)．
流れる電流の大きさは，誘導起電力を抵抗で割るだけなので，
　 $\displaystyle{ f = B \frac{Bdv}{R} d = \frac{B^2 d^2 v}{R} }$

抵抗2と電池との閉回路の場合(スイッチ $\mathrm{S}_3$ と $\mathrm{S}_1$ を閉じたとき)

今度は，電池の起電力が寄与してきます．

問3 導体棒の速度が一定となったとき
導体棒にはたらく外力は，流れる電流により決まる(そこに $B, d$ を乗じるだけ)ので，導体棒に流れる電流を求めることを考えます．導体棒の左側と右側にそれぞれ閉回路ができているので，それぞれについてキルヒホッフの法則を考えていきます．

この関係を導出するために，それぞれの箇所を流れる電流とその向きを以下のように置きます．

電池を流れる電流： $I_{\mathrm{E}}$ は，y軸の負の向きを正(正極から負極に流れる向き)
導体棒を流れる電流： $I_{\mathrm{p}}$ は，y軸の正の向きを正
抵抗2を流れる電流： $I_{\mathrm{R}}$ は，y軸の正の向きを正

すると，キルヒホッフの法則の式は，導体棒の速度(x軸の正の向きを正)を $v_{\mathrm{p}}$ として，
　 $\begin{cases} I_{\mathrm{E}} = I_{\mathrm{p}} + I_{\mathrm{R}} \\ E - B v_{\mathrm{p}} d = R I_{\mathrm{E}} \\ B v_{\mathrm{p}} d = R I_{\mathrm{R}} \end{cases}$

1つ目の式の両辺を $R$ 倍して，下の 2式を代入すると $R I_{\mathrm{p}} = E - 2B v_{\mathrm{p}} d$ となります．導体棒に電流が流れない条件を立てれば， $\displaystyle{ v_{\mathrm{p}} = \frac{E}{2Bd} }$ となります．

問4 終端速度に達するまでの運動の様子
キルヒホッフの法則の式(3つ目の式)より，抵抗2を流れる電流は導体棒の速度に比例することがわかります．よって，導体棒の速度の変化を調べることになります．

定量的には，上の電流を求めたところから以下の運動方程式を解くことになります．
　 $\begin{align} m \frac{d v_{\mathrm{p}}}{dt} &= B I_{\mathrm{p}} d \\ \frac{d v_{\mathrm{p}}}{dt} &= \frac{Bd}{mR} (E - 2B v_{\mathrm{p}} d) \end{align}$

微分方程式の解
ちょっと変数が多いので，簡単にした形で書いておきます．解く微分方程式を
　 $\displaystyle{ \frac{d \phi}{dt} = A (1 - k \phi) }$

と書き直すと，この方程式の解は $\displaystyle{ \phi(t) = \frac{1}{k} \left( 1 - C e^{-Akt} \right) }$ となります．成立するかどうかは，もとの微分方程式に代入してみるのが早いですね． $C$ は積分定数から与えられる変数(初期条件に依存する変数)であり，いまの問題に合わせて $\phi(0) = 0$ とすると $C = 1$ となります．
この解において， $t \rightarrow \infty$ とすると， $\displaystyle{ \phi \rightarrow \frac{1}{k} }$ となります．このような話は，過去のネタにもいくつか出てきています*2．

$A, \ k$ を上の微分方程式に合うように与えれば，問4の終端速度の大きさを導くことができます．

微分方程式を解くというのは範囲外な解法にもなるので，もうちょっと物理的(定性的)に考えてみると，

初速は 0なので，そうでないグラフは除外されます．
電流の向きは y軸の正の向きであり，負の向きに転じることもないので，この時点で (く)に絞り込まれます．
時刻の指数関数になることですが，「物理量の変化量が，そのときの物理量の大きさに比例するときには指数関数になる」と覚えておくといいと思います．放射性物質の崩壊(半減期)もその例となります．

2つ目ポイントについてですが，電池は一定のエネルギーを供給する(起電力を与える)ことから負に転じることはないとなります．これは，次のコイルの話にもつながってきます．

抵抗2とコイルとの閉回路の場合(スイッチ $\mathrm{S}_3$ と $\mathrm{S}_2$ を閉じたとき)

電池がコイルに置き換わります．それにより，導体棒の左側からの起電力自体が時間変化することになります．

問5 導体棒を流れる電流と位置についての関係
時間変化の様子を考察しています．(a)のところは，誘導起電力の式をすっと書き下した方が素直かもしれません．
　 $\displaystyle{ - L \frac{\Delta I_{\mathrm{p}}}{\Delta t} = B v_{\mathrm{p}} d }$

さらに $\displaystyle{ v_{\mathrm{p}} = \frac{\Delta x_{\mathrm{p}}}{\Delta t} }$ と書き換えることで同じ形になります．
$I_{\mathrm{p}}$ と $x_{\mathrm{p}}$ の関係より，導体棒にはたらく力は以下のように単振動の形で与えられます．
　 $\displaystyle{ F = B I_{\mathrm{p}} d = - \frac{B^2 d^2}{L} x_{\mathrm{p}} }$

問6～問7 導体棒に流れる電流の変化
問5(a)より，流れる電流は導体棒の位置に比例することが記されているので，位置の変化を考えます．ただし，位置はつねに負(磁場は負の領域にしかないから)であるので，はたらく力も電流もともにつねに正であることに注意しておきます．つまり，導体棒にはつねに右向きの力がはたらいていて，左に進むほど力の大きさが大きくなるわけです．そして，あるところで押し返されて右向きに運動の方向を変えることになります．さらに，位置が正となる領域には磁場がないので，戻ってくることはありません．
ということで，(さ)が答えになります．

そして，(さ)のグラフの最大値(導体棒がもっとも左に食い込んだとき)を考えます．はたらく力はばねと同等と書いてあるので，単振動の振幅を求めると解釈し直してエネルギー保存則を考れば，
　 $\begin{align} \frac{1}{2} \frac{B^2 d^2}{L} {X_{\mathrm{p}}}^2 &= \frac{1}{2} m v^2 \\ X_{\mathrm{p}} &= - \frac{v}{Bd} \sqrt{mL} \end{align}$

このときの電流の大きさは， $\displaystyle{ I_{\mathrm{p}} = - \frac{Bd}{L} X_{\mathrm{p}} = \sqrt{\frac{m}{L}} v }$ となります．

II. 導体棒の運動(二階建てバージョン)

この構成はなかなか思いつかないというか，すごい構成だなあ．なんか難しそうと思わせる構成図になっています．こちらも問題は 2つのパートに分かれています．

スイッチ $\mathrm{S}_4$ のみを閉じたとき
スイッチ $\mathrm{S}_4$ と $\mathrm{S}_5$ を閉じたとき

うまく描き換えてあげることで，少しはシンプルにすることができます．先に図を示しておきます．色合いなど図が見づらかったらすみません．

それぞれの抵抗を通る電流を，向きと合わせて $I_i \ (i = 1, 2, 3)$ と置いています．平面に「開いた」ことで，二階部分の導体棒Pの運動の方向や磁界の向きが逆になっています．

スイッチ $\mathrm{S}_4$ のみを閉じたとき

まず，このときの電流は， $I_1 = I_2 = I$ として考えることができます．

問8 導体棒Qに作用する力
ここからは問題文をよく見て状況を見極めていく必要があります．どういうことかというと『導体棒Pを一定の速度で動かし始めた直後』について考えているということです．

つまり，導体棒Qの動き始めを考えていて，動き出し直前は速度 0として考えなければいけません．
ということは，導体棒Qにはまだ誘導起電力ははたらいていないことになります．
よって，動きだしの導体棒Qには導体棒Pと同じ大きさの電流が流れていて，その電流による力がはたらくことになります．

導体棒Pが動くことにより発生する誘導起電力の大きさは $Bvd$ であり，流れる電流の大きさは $\displaystyle{ I = \frac{Bvd}{R_1 + R_2} }$ となります．よって，導体棒Qにはたらく力の大きさは $\displaystyle{ f_{\mathrm{Q}} = B I d = \frac{B^2 d^2}{R_1 + R_2} v }$ となります．向きは，フレミングの左手の法則より (イ)となります．

問9 導体棒Qが一定の速度になったとき
問8の動き始め以降，導体棒Qには誘導起電力が発生します．それが問8の電流の流れを阻害していき，最終的には電流を流れないようにします．これはちょうど誘導起電力を打ち消していることになります．となれば，導体棒Qも同じ速さ $v$ で動けば打ち消されることは想像できると思います．
定量的な表現も書いておくと，導体棒Qが速さ $v_{\mathrm{Q}}$ で (イ)の方向へ動いているとすると，それによる誘導起電力によって流れる電流は $\displaystyle{ - \frac{B d}{R_1 + R_2} v_{\mathrm{Q}} }$ となります．よって，流れる電流は $\displaystyle{ \frac{B d}{R_1 + R_2} ( v - v_{\mathrm{Q}} ) }$ となり，これが 0となるのは $v_{\mathrm{Q}} = v$ のときとなります．

スイッチ $\mathrm{S}_4$ と $\mathrm{S}_5$ を閉じたとき

導体棒Qの速度が終端したあと，スイッチ $\mathrm{S}_5$ を閉じて，抵抗値 $R_3$ の抵抗にも電流が流れるようにします．

問10 抵抗値 $R_3$ の抵抗に流れる電流
こちらも『スイッチ $\mathrm{S}_5$ を閉じた直後』と書かれており，このときの導体棒Qはまだ速さ $v$ で運動しているとし，導体棒Qにおいて誘導起電力 $- Bdv$ が発生しているとして考えます．キルヒホッフの法則の式を書き下すと，
　 $\begin{cases} I_1 = I_2 + I_3 \\ Bdv = R_1 I_1 + R_3 I_3 \\ -Bdv = R_2 I_2 - R_3 I_3 \end{cases}$

ちょっと連立方程式の解き方も記しておきます．第2式の両辺に $R_2$ ，第3式の両辺に $R_1$ をそれぞれ乗じて，そのまま差し引くと，
　 $Bdv (R_2 + R_1) = R_1 R_2 (I_1 - I_2) + (R_2 R_3 + R_3 R_1) I_3$

右辺第1項に第1式を代入して，求める電流の大きさは，
　 $\displaystyle{ I_3 = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} Bdv }$

問11 導体棒Qの終端速度
こちらも問9と同様に，導体棒Qに電流が流れなくなって，速度が終端します．ということは，上で記しているキルヒホッフの法則の式において $I_2 = 0$ とおけばいいわけで，終端速度の大きさを ${v_{\mathrm{Q}}}'$ とおいて，
　 $\begin{cases} {I_1}' = {I_3}' \\ Bdv = R_1 {I_1}' + R_3 {I_3}' \\ -Bd {v_{\mathrm{Q}}}' = - R_3 {I_3}' \end{cases}$

第2式に第1式を代入して，第3式と両辺を割れば，
　 $\begin{align} \frac{-Bd {v_{\mathrm{Q}}}'}{Bdv} &= \frac{-R_3 {I_1}'}{(R_1 + R_3) {I_1}'} \\ {v_{\mathrm{Q}}}' &= \frac{R_3}{R_1 + R_3} v \end{align}$