「大学への物理」から「大学での物理」へ…(大学入試物理問題の数理)

むかしからなかったわけではないのですが，数学を使うことを意識した物理の大学入試問題問題が増えてきました．だいぶ長文とはなりますが，今年の入試問題を中心に過去のネタも織り交ぜながら，いくつかつらつらと書いてみようと思います．以下のお題に沿って書いていきます．

ベクトル
三角関数
微分，そしてグラフ

1. ベクトル

今年の阪大さんには，いろいろとベクトルな要素が散りばめられていました．たとえば，第1問の実験室系(静止系)と重心系の問題なんかは，その典型のような問題です．

実験室系と重心系(参考：2023年阪大物理第1問)

ここではもう少し一般的な例として，実験室系において速度： $\overrightarrow{v_\mathrm{A}}$ で運動している質量： $m$ の物体Aと速度： $\overrightarrow{v_\mathrm{B}}$ で運動している質量： $M$ の物体Bとが衝突する様子を考えます．が，いきなり重心系に話を飛ばします．

2物体の重心は，実験室系における物体AとBの位置ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{x_{\mathrm{A}}}, \ \overrightarrow{x_{\mathrm{B}}}$ とすれば，実験室系における重心Gの位置ベクトルは，
　 $\displaystyle{ \overrightarrow{x_{\mathrm{G}}} = \frac{ m \overrightarrow{x_\mathrm{A}} + M \overrightarrow{x_{\mathrm{B}} }}{m+M} }$

これから重心Gの速度ベクトルは，時間で微分して，
　 $\displaystyle{ \overrightarrow{v_{\mathrm{G}}} = \frac{ m \overrightarrow{v_\mathrm{A}} + M \overrightarrow{v_{\mathrm{B}} }}{m+M} }$

右辺の分子を見ると，運動量保存則が成り立っていれば 2物体の重心は等速直線運動をしている(衝突前後でも変わらず一定の速度で運動をしている)ということがわかります．物体AとBを重心系(重心から見た系)に置き換えるには，相対速度を考えるだけなので，重心系における速度をそれぞれ $\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}'}, \ \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}'}$ とすれば，
　 $\begin{cases} \overrightarrow{v_{\mathrm{A}}'} = \overrightarrow{v_{\mathrm{A}}} - \overrightarrow{v_{\mathrm{G}}} = \cfrac{M}{m+M} \left( \overrightarrow{v_{\mathrm{A}}} - \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}} \right) \\ \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}'} = \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}} - \overrightarrow{v_{\mathrm{G}}} = -\cfrac{m}{m+M} \left( \overrightarrow{v_{\mathrm{A}}} - \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}} \right) \end{cases}$

これらより，
　 $m \overrightarrow{v_{\mathrm{A}}'} + M \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}'} = \overrightarrow{0}$

という重心系における運動量保存則が得られます．さらに，その和がゼロであることから，重心系における 2つの速度ベクトルが反対向きになっていることも示しています．
冒頭にも書いたように，ここまでの話は一般の $\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}}, \ \overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}$ について書いている(阪大さんの問題では $\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}}=\overrightarrow{0}$ )ので，重心系における速度ベクトルの関係も常に成り立つものとなります．このように，成分表示に分けるよりもベクトルで考えた方が物理的な意味も見やすいことがよくあります．

(2024/02/10追記)
重心系の散乱(衝突)について，2024年の同志社大でベクトルの扱いに寄せた出題がありました．メモも書いたので，合わせて見てもらえると参考になるかと思います．
miwotukusi.hatenablog.jp

もう一つ，阪大さんで少し毛色の違ったベクトルの扱いがありました．

射影ベクトル(参考：2023年阪大物理第3問B)

ドップラー効果を扱う問題の「ヒント」となっていた部分です．
『ヒント： $v_{\mathrm{SP}}$ は観測者の速度ベクトル $\overrightarrow{v}$ と，SP方向を表すベクトル $\overrightarrow{\mathrm{SP}}$ とその大きさ $| \overrightarrow{\mathrm{SP}} |$ を用いて， $\displaystyle{ \overrightarrow{v} \cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{SP}}}{| \overrightarrow{\mathrm{SP}} |} }$ のように内積を使って求めることができる．』

速度ベクトルと SP方向を表すベクトルがなす角を $\phi$ とおくと，速度ベクトルを SP方向と SPと垂直な成分に分解したときの SP方向の大きさは $v \cos{\phi}$ と表されます．ここへベクトルの内積の式： $\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{SP}} = v \ | \overrightarrow{\mathrm{SP}} | \cos{\phi}$ を用いれば，
　 $\displaystyle{ v \cos{\phi} = v \cdot \frac{ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{SP}} }{ v \ | \overrightarrow{\mathrm{SP}} | } = \overrightarrow{v} \cdot \frac{ \overrightarrow{\mathrm{SP}} }{ | \overrightarrow{\mathrm{SP}} | } }$

最後の式にある (ベクトル) $\div$ (ベクトルの大きさ)は，その方向の単位ベクトルを表しています．もし，この成分に「向き」をつけたければ，さらにその方向ベクトルをかけて，
　 $\displaystyle{ \left( \overrightarrow{v} \cdot \frac{ \overrightarrow{\mathrm{SP}} }{ | \overrightarrow{\mathrm{SP}} | }\right) \frac{ \overrightarrow{\mathrm{SP}} }{ | \overrightarrow{\mathrm{SP}} | } = \left( \frac{ v \cdot \overrightarrow{\mathrm{SP}} }{ | \overrightarrow{\mathrm{SP}} |^2 }\right) \overrightarrow{\mathrm{SP}} }$

と表すことができます．これを射影ベクトルと呼びます*1．

あと，2023年京大物理第3問の偏光板の問題でも，偏光板が電場の方向を成分分解して，その成分だけを透過するものとして登場しています．これも射影ベクトルを考えているともいえるわけです．

単位ベクトル
(ベクトル) $\div$ (ベクトルの大きさ)として単位ベクトルを表すというのは，過去のネタにも出てきています．以下のようなネタ(一方は数学ですが)です．

また，NHKで昨年放送された『笑わない数学』のカオス理論の回で，星の運動を扱う式として以下のような式が出されていました．
　 $\displaystyle{ m_i \frac{d^2 \mathbf{r}_i}{dt^2} = - \sum_{j \neq i} G m_i m_j \frac{\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j}{ | \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j |^\color{red}{3} } }$

少し見づらいかもしれませんが，ここではベクトル(位置ベクトル： $\mathbf{r}$ )を太字で表現しています．これは，ニュートンの運動方程式において，対象としている星( $i$ 番目の星)にはたらく力は，ほかの星( $i \neq j$ がそれを表す)からの万有引力の和であるということを記しています．そして，この最後の分数の分母が 3乗(赤字のところ)と書かれているのは，単位ベクトルを含めて書いているからということになります．なので，誤植ではありません．上に挙げたラグランジュポイントの話でも万有引力の向きを考えるために，同じような変形を与えています．

2. 三角関数

よく波動の問題で扱われます．最近，あちこちの大学で出てくるようになったと思います．「2019年京大物理第3問」のメモ - みをつくしのひとりよがりにも現れている三角関数の合成＆加法定理を使うことがしばしばあります．
　 $\begin{align} a \cdot \sin{\theta} + b \cdot \cos{\theta} & = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin{(\theta + \beta)} \\ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \sin{\theta} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \cos{\theta} &= \sin{(\theta + \beta)} \\ \cos{\beta} \sin{\theta} + \sin{\beta} \cos{\theta} &= \sin{(\theta + \beta)} \end{align}$

2023年の入試問題でいえば，以下のようなところに顔を出してます．

浜松医科大第4問のIII
広島大第2問の問1
九州大第3問の問2

過去のネタとしては，上に挙げた京大さんの問題やその中でも指しているうなりのネタなどを参考にしてもらえばと思います．

(2024/02/20追記)
「波打つもの」には三角関数がついて回るということで，交流回路にも応用が効きます．こちらも，2024年の同志社大の問題と合わせてネタを書きました．
miwotukusi.hatenablog.jp

3. 微分，そしてグラフ

最大・最小を求めるといえば，微分ですし，グラフの概形を見るためにも微分を使います．物理においては，グラフ上の点は「状態」を表すものとしてとらえて，そこからどのように推移していくかを考えるために，グラフの概形を知ろうとします．それを示す例を以下に挙げていきます．

有効ポテンシャル(参考：2023年京大物理第1問)

「2023年京大物理第1問」のメモ - みをつくしのひとりよがりでも触れた内容ですが，有効ポテンシャルは軽くしか触れられていないので，もう少し突っ込んでおきます．

「有効ポテンシャルって何？」
もうちょっと言うと「有効ってどういう意味なの？」という疑問が湧くかもしれません．そのあたりを京大さんの問題の流れで説明してみようと思います．

楕円運動をしている物体の力学的エネルギーを考えます．これは単純に(運動エネルギー)＋(位置エネルギー)として求めます． $\displaystyle{ \left( E = \frac{1}{2}m V^2 - G \frac{Mm}{r} \right) }$
運動エネルギー(速度ベクトル)を動径方向とそれに垂直な方向に分解します． $\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}m V^2 = \frac{1}{2}m u^2 + \frac{1}{2}m v^2 \right) }$
ここに面積速度一定の法則(角運動量保存の法則)を適用すると，分解した運動エネルギーの第2項を $\displaystyle{ \frac{1}{2}m v^2 = \frac{2mS^2}{r^2} }$ と書き換えることができます．運動エネルギーなのですが，中心となる天体からの距離という「位置」で表されるようになりました．位置で表現されているエネルギーなので「それ，位置エネルギーなんとちゃうか？」という話になります．
というわけで，もともと書かれていた万有引力の位置エネルギーと合わせて， $\displaystyle{ V(r) = \frac{2mS^2}{r^2} - G \frac{Mm}{r} }$ を「見かけの位置エネルギー」とします．この「見かけ」ということを物理学では「有効」という言葉で表現します*2．

有効ポテンシャルのご利益
意味的には上のとおりとなりますが，このようにして何のご利益があるの？という話を次にしていきます．力学的エネルギーの式を変形すると，
　 $\displaystyle{ E - V(r) = \frac{1}{2}m u^2 }$

保存されている全体の力学的エネルギーと有効ポテンシャルの差が，動径方向の運動エネルギーとして与えられます．これをグラフを用いて考えてみると， $\displaystyle{ \frac{1}{2}m u^2 \geqq 0 }$ であることから， $V(r) = E$ という水平線よりも下にあるグラフの部分でしか運動をできないということを示しています(上に出てしまうと，動径方向の運動エネルギーが負になってしまう)．

有効ポテンシャルエネルギーを考えるご利益はまだありますが，いったん京大さんの問題に戻って話を進めます．
引力が $\displaystyle{ f = \frac{Am}{r^k} }$ となるとき，この引力による位置エネルギーは $k$ を2以上の整数とすると，
　 $\displaystyle{ \int_{\infty}^r \frac{Am}{{r'}^k} dr' = - \frac{Am}{k-1} \frac{1}{r^{k-1}} }$

よって，有効ポテンシャルは，以下のようになります．
　 $\displaystyle{ V(r) = \frac{2mS^2}{r^2} - \frac{Am}{k-1} \frac{1}{r^{k-1}} }$

これらをグラフに表すと，下図のようになります．

$k = 2$ (オレンジ)のときは，最小値が存在します．円運動をするときは，この最小値の点に留まっていることになります．
$k = 3$ (青の一番下のグラフ)のときは， $\displaystyle{ V(r) = \frac{C'}{r^2} }$ の形となり，極値点が存在しない．
$k \geqq 4$ (青)のときは，極大点が現れる上に凸なグラフとなり，天体に落ち込むか，天体から遠ざかるようになる．

$k \geqq 4$ のとき，最大値の点(極大点)に留まれなくもないですが，安定しない点となります(ちょっと「刺激」があれば，転げ落ちてしまう)．

いったん話を止めていましたが，有効ポテンシャルエネルギーを考えるご利益には，「系の安定性・不安定性を視覚化できる」ということも挙げられます．グラフで言えば，下に凸ならば安定，上に凸ならば不安定ということです．下に凸の底に留まっていれば，安定しているわけです．
このような考え方は，量子コンピューターや機械学習の基礎にもなっています．

風船のモデル化(参考：2021年阪大物理第3問A，2023年東大物理第3問)

いずれも過去のネタになります．グラフを描かせたり，描かないとわからない問題(少し乱暴な言い方ですが...)になっています．

風船というゴム膜にはたらく力をモデル化し，そのふるまいを考える問題になっています．
阪大さんの問題では，外力と風船の大きさ(変位)の関係を無次元化という操作を通じて導いています．そのグラフから，膨らましはじめたときと十分膨らんだときでの違いを調べています．さらには，上で取り上げた「見かけ」を「有効」と表現している例にもなっています(「見かけのばね定数」として $k_{\mathrm{eff}}$ を求める)．

東大さんの問題では，ゴム膜にはたらく力を表す係数がさらに半径に依存する(半径の関数になる)というモデルを使っています．たとえば，物理量を求めて，それを微分したら変化の様子がわかる．というのはありがちな話ですが，微分した結果を用いて物理的に何が起こるかを考える．ということを求められている問題になっています．なかなかこういう問題はないと思います*3．
すでに，いくつか追記をしていますが，以下では物理的な補足と少し微分積分的な補足を書いていきます．

圧力を表す式
係数を表す式でもいいのですが，この式
　 $\displaystyle{ p(r) = p_0 + 2a \frac{r - r_0}{r^3} \ (r \geqq r_0 > 0) }$

一見複雑そうな形をしていますが，ちょっと引いてみてみると，物理的な意味を踏まえたわかりやすい形をしています．

$r = r_0$ のときには，係数自体がゼロとなるようになっており，最小の半径を与えることとそのときにはゴム膜の力ははたらかないということを表しています．
そして，そのときの風船内の圧力は大気圧( $p_0$ )と同じになっていることも表しています．

グラフの形を見てみると，膨らましはじめでは半径が大きくなるほど内圧を大きくする必要があるが，ある程度膨らめばそれほど内圧(外力)は必要ないという様子もうかがうことができます*4．

$r_{\mathrm{D}}$ を求める式
III (1)の説明において，以下の式を立てています．
　 $p(r_{\mathrm{D}} - \Delta r) > p(r_{\mathrm{D}})$

これ，次の式じゃないの？というツッコミも出てくるところです．
　 $p(r_{\mathrm{D}} - \Delta r) > p(r_{\mathrm{D}} + \Delta r)$

結論から言うと，同じ結果が得られます．ただ，次のような変形をすれば，前者の方が素直なのかな？とも思っています*5．
　 $\begin{align} p(r_{\mathrm{D}} - \Delta r) &> p(r_{\mathrm{D}}) \\ \frac{p(r_{\mathrm{D}}) -p(r_{\mathrm{D}} - \Delta r)}{\Delta r} &< 0 \end{align}$

ここで， $\Delta r \rightarrow 0$ の極限を考えてみると，左辺は圧力の微分 $\displaystyle{ \frac{dp(r)}{dr} }$ を表しています(微分係数の定義)．つまりは， $p(r)$ のグラフにおいて，傾きが負になる箇所という話になります．
ところで，「微小な半径の縮小に対して，他方の半径は同じだけ膨張する．」一見正しいように思えますが，はたしてそうでしょうか？それを少し考察しておきます．

微小な半径の変化に対する他方の風船の変化は？
添字を外し，改めて書き下します．
　 $p(r - \Delta r) > p(r + \Delta r)$

左辺と右辺の $\Delta r$ は，ともに微小な量ですがまったく同じと言えるでしょうか？という話です．もう少し物理的な感覚も含めた言い方をすると，「片方の風船を軽く押して $\Delta r$ だけ小さくしたとき，その応答としてもう片方の風船は同じ $\Delta r$ だけ膨らむのか？」という話です．
そこで半径が異なるときの様子を調べてみます．変化前の風船の半径をそれぞれ $r, \ R$ と大きさを変えておいて， $r \rightarrow r - \Delta r$ となったときの $\Delta r$ と $R \rightarrow R + \Delta R$ のときの $\Delta R$ の関係がどうなるかを調べます．以下では，体積の変化について考えます．縮小した風船の体積の変化は，2次以上の微小量は無視して，
　 $\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi (r - \Delta r)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = - 4 \pi r^2 \Delta r }$

他方の風船は膨らむので，
　 $\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi (R + \Delta R)^3 - \frac{4}{3} \pi R^3 = 4 \pi R^2 \Delta R }$

これらの絶対値が等しいことから， $\displaystyle{ \Delta R = \left( \frac{r}{R} \right)^2 \Delta r }$ となります． $r = R = r_{\mathrm{D}}$ のときは， $\Delta r = \Delta R$ となるわけです．変化量の式を見れば，(表面積)×(微小な厚み(半径の変化))という形をしているので，2乗の比になることは理解しやすいと思います．
単に「微小な量」といっても，上のようにその大きさに違いが表れるということは．きちんと理解しておく必要があります*6．

半径の変化を今回のケースで考えるのであれば...
半径に応じて内圧も変わるわけですから，ほんとうは上のように体積だけで考えていてはダメなわけです．II (2)のように変化しない物理量に基づいて考えないといけません．となると，物質量を基準として，

$\begin{align} p(r) V(r) + p(R) V(R) &= p(r-\Delta r) V(r-\Delta r) + p(R+\Delta R) V(R+\Delta R) \\ &\cdots \\ \left\{ 3 p_0 r^2 + 2a (2r - r_0) \right\} \Delta r &= \left\{ 3 p_0 R^2 + 2a (2R - r_0) \right\} \Delta R \end{align}$

係数： $a$ が小さければ，上のように半径の 2乗の比として求めることができますが，それだと面白くないモデルという話になります．まあ， $r = R$ のときは $\Delta r = \Delta R$ となります．係数に表れている「3」や「2」といった数字がどこから来ているのかも計算をしてみれば追うことができます．

このような問題は，予想も難しいですし，それゆえ物理現象を数学を用いて解析をするセンスを試される問題と言えるのかもしれません．

微分の応用といえば、ほかにも近似式(マクローリン展開という微分による多項式展開の応用)であったり，以下のような微分方程式を用いた(用いるような)問題なんかもあったりします．

高校物理では，力学(等加速度運動)以外では時刻： $t$ が陽に現れないので，そういうところも穴になりやすいところだと思います．上の微分方程式の例は，いずれも時刻で微分をしているので時間の関数として考える問題(いずれも緩和時間を扱っている)になっています．

*1:2023/11/11追記：この内容をもう少し発展させると，内積と余弦定理の関係をすっきりとさせることができます．

*2:「有効質量」という言葉も，大学物理ではよく出てきます．

*3:モデル化をして，そこから起こることを推察し，そのモデルが正しいかを検証する．という話になっています．

*4:上に挙げた2つの条件を満たすのであれば， $\displaystyle{ p(r) = p_0 + 2a \frac{r - r_0}{r^2} }$ としても満たせることがわかります．そしてこの数式は，大きな $r$ に対して I で求めたもの $\displaystyle{ \left( p = p_0 + \frac{2 \sigma}{r} \right) }$ に近づくものとなります．また，このときは $r_{\mathrm{D}} = 2 r_0$ となり，温度と半径の関係は同様な概形が得られます．