みをつくしのひとりよがり

2022/08/10にブログ名を変えました．仕事や生活に役立ちそうな（実際に役立つかは別として）数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます．

置換積分の図形的なイメージ

Math

だいぶと日が経ってしまいました．
微分積分という分野は，「無限」を扱うので，単純にイメージだけで片付けるのは危険なところがあります．でも，ここでは「まず，習うより慣れよ」ということで，書いてみることにします．

置換積分って何をしてる？

言い換えれば，「合成関数の積分」をしていることになります．合成関数の「中身」のところを別の変数に置き換えて計算しやすい形に変形していきます．たとえば，
　 $\displaystyle{ (1)\ \ \int_{-2}^2 (2x+1)^2 \ dx = \int_{-3}^5 t^2 \ \frac{dt}{2} }$

　 $\displaystyle{ (2)\ \ \int_{1/e}^e (\log{x})^2 \ dx = \int_{-1}^1 t^2 \ e^t \ dt }$

のように，基本的には整式の形に変形をして簡単にしようという計算です．
計算の手続きとしては，

置き換えをするターゲット(小さい関数)を決めて，
置き換えの式の両辺を微分することから，微小変化に関する式を導き，
(定積分の場合)積分区間も置き換える．

という流れになります．
単なる「手続き」による式変形という感覚だと思いますが，積分のイメージでよく登場する「面積」*1のイメージを用いて考えてみると，それぞれの式で考えている面積が等しいことがわかります．ここからはこの面積が等しいということも意識しつつ，グラフを用いて図形的なイメージを見ていくことにします．

まずは，簡単な(1)の例で

面積は平行移動しても変わらないので，比較しやすいように平行移動させてみると，

※赤がもとの積分(x軸の正の方向に1/2だけ平行移動したもの)，緑が置換後の積分

となります．こうすると，「幅が倍になっていて，高さが半分になっていること」がよくわかるのではないでしょうか？なので，面積が等しくなっていることもわかりやすいですね．
「幅が倍になる」というのは，上の手続きの 2.で示されています．
　 $2 \cdot dx = dt$

「 $x$ の世界」と「 $t$ の世界」という 2つの世界を考えたとき， $t$ の世界は $x$ の世界よりも倍だけ速く動く(進む)という見方ができます．右辺には積分区間の違いとして倍になることが現れてきます．その代わりに，「高さ」である被積分関数が半分にされています．
つまり，置換積分とは

2つの変数がそれぞれ示している「世界」の間で，動きの違い(変数の変化率の違い)があり，
その違いを被積分関数(高さ)に押し込めてしまう．

という操作をしていることになります．*2
(2)の例では，この内容がもう少し複雑になります．

(2)の例

2つの世界の「違い」は，
　 $1/x \cdot dx = dt$ または $dx = e^t \cdot dt$

となり，単純に定数倍ではなく， $x$ または $t$ の値によって変わる(場所によって変わる)ことになります．具体的に，数字を当てはめてみると

$x=1/e \ (t=-1)$ のとき， $e \cdot dx = dt$
$x=1 \ (t=0)$ のとき， $dx = dt$
$x=e \ (t=1)$ のとき， $1/e \cdot dx = dt$

と， $x$ が一定の速さで動いていても， $t$ は最初は速く動き，どんどんと遅くなるような動きとなっています．その動きの違いを高さに押し込めないといけないので，被積分関数の変わり方も一様ではなくなります(下図)．

※赤がもとの積分(x軸の正の方向に-1だけ平行移動したもの)，緑が置換後の積分

実は，この積分計算は部分積分を用いれば，簡単に計算ができてしまいます(逆に置換する方が難しい)．
　 $\displaystyle{ \int (\log{x})^2 \ dx = 2x - 2x \cdot \log{x} + x \cdot (\log{x})^2 + C}$

こんなイメージが高校数学で役立つかどうかは微妙ですが，このような見方もあるんだよって感じで見ておいてもらえばと思います．

*1:過去にここ↓で触れています． miwotukusi.hatenablog.jp

*2:変数の動きの違いにともない，定積分の場合は積分区間も変化します