みをつくしのひとりよがり

2022/08/10にブログ名を変えました．仕事や生活に役立ちそうな（実際に役立つかは別として）数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます．

「2019年センター試験物理第2問B」の補足～その2～

Phys-Ele Exam

前回のネタについて，追加の考察を書いていきます．*1
miwotukusi.hatenablog.jp

先に，前回の結果を以下にまとめておきます．
\displaystyle{ B \ell \equiv \alpha, \ \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \equiv \beta }, \ \frac{1}{\tau} \equiv \frac{\alpha^2 \beta}{m}と置いて，*2

  • 導体棒の速度は， \displaystyle{ v(t) = \cfrac{ \cfrac{V}{r} - \left( \cfrac{V}{r} - \alpha \beta \cdot v_0 \right) \cdot e^{- \displaystyle{ \frac{t}{\tau} } }}{\alpha \beta} }

　

  • 導体棒を流れる電流は， \displaystyle{ i(t) = \left( \frac{V}{r} - \alpha \beta \cdot v_0 \right) \cdot e^{- \displaystyle{ \frac{t}{\tau} }} }

　

  • 抵抗 rを流れる電流は， \displaystyle{ i_r(t) = \frac{V- B \ell \cdot v(t)}{r} }

　

  • 抵抗 Rを流れる電流は， \displaystyle{ i_R(t) = \frac{B \ell \cdot v(t)}{R} }

導体棒の速度

問3で左向きに力を加えて支えていたものを外すと，導体棒は右向きに運動します．いまの場合は，右向きの力がどんどん弱くなって 0となることで等速になるという運動になります．その様子を式の上でも確認していきます．
　 \displaystyle{ v(t) - v_0 = \cfrac{ \cfrac{V}{r} - \left( \cfrac{V}{r} - \alpha \beta \cdot v_0 \right) \cdot e^{- \displaystyle{ \frac{t}{\tau} } }}{\alpha \beta} - v_0 = \left( 1 - e^{- \displaystyle{ \frac{t}{\tau} }} \right) \cfrac{\color{red}{\cfrac{V}{r} - \alpha \beta \cdot v_0}}{\alpha \beta} }

赤字の部分は，ちょうど i(0) = i_0となっており，これは正の値をとります．よって，この式は正となり， v(t) > v_0であることが導かれます．

エネルギー保存則

合成関数の微分を用いれば，次の式が示されます．
　 \displaystyle{ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m \{ v(t) \}^2 \right) = m \, v(t) \frac{dv(t)}{dt} }

前回立てた運動方程式の両辺に速度： v = v(t)をかけると，
　 \begin{align} m \, v \frac{dv}{dt} &= B \ell \left\{ \frac{V}{r} - B \ell v \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \right\} \cdot v \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) &= B \ell v \frac{V}{r} - (B \ell v)^2 \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \end{align}

ここで，右辺を変形していくと，以下のように書き換えることができます．
　 \begin{align} (右辺) &= - \frac{(V - B \ell v)^2}{r} - \frac{(B \ell v)^2}{R} + \frac{V - B \ell v}{r} V \\ &= - {i_r}^2 r - {i_R}^2 R + i_r V \end{align}

最後の行において，

  • 第1項は，抵抗 rにおける単位時間当たりの消費電力
  • 第2項は，抵抗 Rにおける単位時間当たりの消費電力
  • 第3項は，直流電源から単位時間あたりに供給される電力(電流×電圧)

となって，エネルギー保存則(右辺の差の分だけ，運動エネルギーに変わっていること)を示しています．

2019/02/04追記

上では，運動方程式の両辺に vをかけるとしましたが，右辺だけを考えれば (力)×(速さ)＝(力)×(単位時間あたりの移動距離)，すなわち「単位時間あたりの仕事」と見ることができます．これが導体棒に与えられた運動エネルギーになっていると捉えても構いません．

*1:いつものごとく，備忘録です(笑)．

*2: \tauは前回の備考に書いていた緩和時間になります．