ちょっと面倒くさい 1次変換の問題～その1～

むかし出会った 1次変換の問題です．問題のレベルは決して高くないのですが，ちょっと面倒くさいという問題です．いつもの備忘録も兼ねて，以下に記しておきます．

問題

座標平面上に相違なる 4点 $P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4$ があり，1次変換 $f$ により
　 $P_1 \rightarrow P_2$
　 $P_2 \rightarrow P_3$
　 $P_3 \rightarrow P_4$

と移されるものとする．また， $P_2, \ P_3, \ P_4$ は同一直線 $\ell$ 上にあるとする．

$f : P_4 \rightarrow P_5$ とするとき，点 $P_5$ は直線 $\ell$ 上にあることを示せ．
$f : P_0 \rightarrow P_1$ となる点 $P_0$ が存在すれば，点 $P_1$ は直線 $\ell$ 上にあることを示せ．
直線 $\ell$ が原点を通らないならば，点 $P_1$ は直線 $\ell$ 上にあることを示せ．

一応，図にしてみると以下のようになります．
f:id:miwotukusi:20160917175921p:plain

どう攻める？

ベタな方法としては，「点 $P_n(n=1,2,3,4)$ の座標と 1次変換 $f$ を表す行列 $A$ の成分を与え，条件を用いながら示していく．」ことになると思います．ただ，変数が非常に多くなってしまい，条件がつくとはいえ処理をするのは大変です．
そこで，
　点 $P_n(n=1,2,3,4)$ の位置ベクトルと 1次変換 $f$ を表す行列 $A$ を用いる

ことを考えていきます．

1次変換を行列とベクトルを用いて表すこと

「直線上にある」をベクトルを用いて表すこと

ポイントは，この 2つだけです．とはいえ，面倒なのですけど...

「やっちまったなぁ〜！」という解法

自身もはじめはここに示す考え方をしていました．
恥さらしではありますが，しばらく書き進めてみますので，どこで間違いを犯しているのか粗探しをしてみて下さい．

【恥さらし，ここから】
以下，点 $P_n$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{p_n}$ と表すことにします．すると，
　 $\overrightarrow{p_2} = A \overrightarrow{p_1}$
　 $\overrightarrow{p_3} = A \overrightarrow{p_2} = A^2 \overrightarrow{p_1}$
　 $\overrightarrow{p_4} = A \overrightarrow{p_3} = A^3 \overrightarrow{p_1}$

とこれら 4つの点は $\overrightarrow{p_1}$ と $A$ だけで表すことができます．
そして，「直線上にある」は「定数倍」であるということから
　 $\color{red}{ \overrightarrow{p_4} - \overrightarrow{p_2} = s \cdot \left( \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_2} \right) }$

と表すことができます．( $s$ は実数)
実数 $s$ については， $s \neq 0$ ( $P_4$ と $P_2$ は異なる点である)， $s \neq 1$ ( $P_4$ と $P_3$ は異なる点である)という条件がつきます．

$\overrightarrow{p_2}, \ \overrightarrow{p_3}, \ \overrightarrow{p_4}$ を上で与えた式で書き換え，整理すると単位行列を $E$ として，
　 $\begin{align} (A^3-A) \overrightarrow{p_1} &= s \cdot (A^2-A) \overrightarrow{p_1} \\ A(A-E)\{ A-(s-1)E \} \overrightarrow{p_1} &= \overrightarrow{0} \end{align}$

と変形できます．

$A=O$ だと，点 $P_2, \ P_3, \ P_4$ は原点に移されてしまい，相違なることに矛盾
$A=E$ だと，4点が相違なることに矛盾

なので，
　 $A \overrightarrow{p_1} = (s-1) \cdot \overrightarrow{p_1} \ (s \neq 0, s \neq 1)$

であることが示されます．
【恥さらし，ここまで】

間違いは，「因数分解」をした後の場合分けです．あくまでも $A$ は行列なので，このような場合分けをすることはできません．これができてしまうと， $A^2=0 \Rightarrow A=0$ も言えてしまうことになります．

もし上に挙げている関係式が確実に言えれば，点 $P_5, \ P_0$ が直線 $\ell$ 上にあることを示すのは難しくありません．逆にここまでやってしまうとダメということなので，そこまでこねくり回さない方法を考えていくことになります．

問1

これは，あっさり片付きます．上で書いた関係式に左から $A$ をかけて，
　 $\begin{align} A \left( \overrightarrow{p_4} - \overrightarrow{p_2} \right) &= s \cdot A \left( \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_2} \right) \\ \overrightarrow{p_5} - \overrightarrow{p_3} &= s \cdot \left( \overrightarrow{p_4} - \overrightarrow{p_3} \right)\end{align}$

すると，3点 $P_3, \ P_4, \ P_5$ は同一直線上にあることがいえます．直線 $P_3P_4$ は直線 $\ell$ そのものですから，点 $P_5$ も直線 $\ell$ 上にあることが示されました．

問2

さっきよりはちょっとひねりを加えます．これも上で書いた関係式から，行列 $A$ の関係式を書き出します*1．
　 $A^3-A = s \cdot (A^2-A)$

この式を $\overrightarrow{p_0}$ にぶつけると
　 $\begin{align} (A^3-A) \overrightarrow{p_0} &= s \cdot (A^2-A) \overrightarrow{p_0} \\ \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_1} &= s \left( \overrightarrow{p_2} - \overrightarrow{p_1} \right) \end{align}$

となって，3点 $P_1, \ P_2, \ P_3$ は同一直線上にあることがいえます．あとは問1と同様です．

問3は，ちょっと違った視点から攻めることになります．それは次回にて．

2017/07/19補足

上の赤字で記した関係式から，
　 $\overrightarrow{p_4} - \overrightarrow{p_3} = (s-1) \cdot \left( \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_2} \right)$

という関係が導かれます(式変形で導くのであれば，赤字の式の両辺に $\overrightarrow{p_2} - \overrightarrow{p_3}$ を加える．図を描いても，すぐに導ける．)．これは「次のとなりの点までの距離は，前のとなりの点との距離の $s-1$ 倍」ということを表しています．このことからも，