近似式の疑問 - みをつくしのひとりよがり

物理ではよく登場する近似式についてです．京大さんの物理の問題では必須というほどの内容ですので，このブログでもちょくちょく登場しています．その中でも，シンプルな以下の式について考えていきます．
　 $(1 + \varepsilon) \simeq 1 + n \varepsilon$

ふとした疑問

結構前のネタにはなるのですが，以下のネタを書いているときにふとした疑問が湧いていました．
miwotukusi.hatenablog.jp

初っ端の(ア)についてです．ここでは「2次以上の微小量は無視する」という内容から，球の半径がわずかに変化したときの体積の変化量を以下のように導出していました．
　 $\begin{align} \Delta V &= \frac{4}{3} \pi (r + \Delta r)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{4}{3} \pi \left\{ \cancel{r^3} + 3 r^2 \Delta r + \xcancel{3 r (\Delta r)^2} + \xcancel{(\Delta r)^3} \right\} - \cancel{\frac{4}{3} \pi r^3} \\ &= 4 \pi r^2 \Delta r \ \end{align}$

これは，上に挙げている近似式を用いても導出されます．
　 $\begin{align} \Delta V &= \frac{4}{3} \pi (r + \Delta r)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot \left\{ \left( \cancel{1} + 3 \frac{\Delta r}{r} \right) - \cancel{1} \right\} \\ &= 4 \pi r^2 \Delta r \ \end{align}$

「3乗」の式を展開したときに係数「3」が残ることになるのですが，この数が「10」とかになったら近似にならんのでは？とふと思ったわけです．

物理で出てくる近似

物理で出てくる近似は，たいてい「±2乗」「±3乗」程度の式に用いられることが多いと思います．これは，万有引力やクーロン力のような逆2乗の力であったり，面積や体積の変化量を扱うようなときに使うことが多いからです．
そして，過去のネタの中でも「 $\varepsilon$ はおおよそ $\displaystyle{ \frac{1}{100} }$ 程度の大きさであればいい」と記しています．これは，10進法の小数で表したときに「もとの1」には影響しない差(小数第1位または小数第2位あたりの差に収まる範囲)で計算するために記していた内容となります．この文章だと， $\varepsilon$ にしか条件を課していない表現になっていますが，以降ではもう少し掘り下げていきます．

近似式の「原型」

上でもすでに登場しているのですが，もとは二項展開(二項定理)の式です．
　 $\displaystyle{ ( 1 + \varepsilon )^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k} \ 1^{n-k} \varepsilon^{k} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k} \ \varepsilon^{k} }$

具体的に展開してみると，
　 $\displaystyle{ ( 1 + \varepsilon )^n = 1 + n \varepsilon + \frac{n(n-1)}{2!} \varepsilon^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \varepsilon^3 + \cdots + \varepsilon^{n} }$

となり，先頭の 2項を取っていることになります． $\varepsilon$ の 1次の項はもととなる数から 1桁から 2桁小さい，2次の項は 3桁から 4桁小さいという感覚で「まあ 3桁ぐらい下なら無視していいでしょう」という感じの近似になっているわけです*1．
この展開した式について， $\varepsilon$ の $k$ 次の項を考えてみると，
　 $\begin{align} {}_{n}C_{k} \ \varepsilon^k &= \frac{n!}{k! (n-k)!} \varepsilon^{k} \\ &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)}{k!} \varepsilon^{k} \\ &= \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \ldots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right) \frac{(n \varepsilon)^{k}}{k!} \end{align}$

と $n \varepsilon$ の $k$ 次の項であることがわかります． $n \varepsilon$ が $\displaystyle{ \frac{1}{10} }$ 程度の大きさより小さければ*2，1桁ずつ小さい値を与えていくことになります．逆に，この項が 1ぐらいの大きさを持っていると，近似がうまく成り立たないことになります．
つまりは， $\displaystyle{ n \simeq \frac{1}{\varepsilon} }$ のような $n$ については，この近似式を用いることができないということです．

じゃあ， $\displaystyle{ n \varepsilon = 1 }$ のときは？

そのまま代入してみると，以下のように書き下されます．
　 $\begin{align} f(n) &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \ldots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right) \frac{1}{k!} \\ &= 1 + 1+ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \frac{1}{2!} + \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \frac{1}{3!} + \ldots + \left( \frac{1}{n} \right)^n \end{align}$

展開などをする前に，簡単な値を代入して考えてみてもいいです．

$n =1$ のときは， $f(1) = 2$
$n = 2$ のときは， $\displaystyle{ f(2) = \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25}$
$n = 3$ のときは， $\displaystyle{ f(3) = \left( 1 + \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{64}{27} \fallingdotseq 2.37}$

「近似式」からは $1 + n \varepsilon = 2$ と与えられるので， $n$ が大きくなるにつれ，どんどんと近似からずれてきます．ある意味，想定どおりです．
まあ，こういう具体例を挙げなくとも，ずっと大きくしていけば以下の式に行き着くことは想像できますよね．
　 $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e = 2.71828\ldots }$

では，どのくらいの $n$ になれば，「ほぼ自然対数の底(ネイピア数)： $e$ 」になるのかを調べてみると， $n =74$ で 2.7を超えます．ただ，この辺りでの増加はだいぶ鈍くなっていて， $n = 100$ のときでも 2.705ぐらいにしかなりません． $e$ の $\displaystyle{ \frac{1}{100} }$ 未満の差となっているので， $n \geqq 74$ ではほぼ $e$ として扱ってよいと考えることができます．

ちょっとだけ応用

「100本のうち 1本だけアタリがあるくじを 100回引いたとき，少なくとも 1回はアタリが出る確率は？ただし，引いたくじは戻すものとする．」の確率を考えます．
余事象である「100回ハズレを引く確率」の式を立ててみると，
　 $\displaystyle{ \overline{P} = \left( 1 - \frac{1}{100} \right)^{100} }$

あとは， $1 - \overline{P}$ を計算すればいいわけです．上で $f(100) = 2.705$ と求めていることを利用すると，
　 $\begin{align} \left( 1 + \frac{1}{100} \right)^{100} \cdot \left( 1 - \frac{1}{100} \right)^{100} &= \left( 1 - \frac{1}{10000} \right)^{100} \\ 2.705 \cdot \overline{P} &= 1 - \frac{1}{100} \\ \overline{P} &= \frac{0.99}{2.705} \fallingdotseq 0.366 \end{align}$

よって，求める確率は $P = 1 - \overline{P} = 0.634$ となります．
計算のポイントですが，まず 1行目で $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の乗法公式の形を作っています．その結果である右辺について，上で議論していた近似を用いて 2行目の値を与えています．

で，もうちょっと極端に $f(100) = e$ として近似することを考えると， $\displaystyle{ \overline{P} = \frac{1}{e} }$ とすることができます*3．さらには，直接 $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n} = \frac{1}{e} \fallingdotseq 0.368 }$ となることを用いて， $n$ が十分大きいことから近似値を与えることもできます．

何気なく使っていた近似式について，その原型から見直しをして，近似が適用できる条件を見直してみました．数式に出てくる個々の項がどのような位(くらい)の数となるのかといったことを意識してみると，また見方も変わってくると思います．

(2025/12/02追記) 応用例の 2つ目

以下の問題を近似式を用いて考えてみます．

$n$ を自然数とするとき，
$99^{\displaystyle{n}} + 100^{\displaystyle{n}}$ と $101^{\displaystyle{n}}$ の大小を比較せよ．

これもネットで見かけた問題ですが，答えは以下のように $n$ の値で変わります．
　 $99^{\displaystyle{n}} + 100^{\displaystyle{n}} \begin{cases} > 101^{\displaystyle{n}} \ (n\leqq 48) \\ < 101^{\displaystyle{n}} \ (n \geqq 49) \end{cases}$

この「変わり目」について，近似式を用いて考えてみます．
少し問題を一般化します．

$M, \ d, \ n$ を自然数とするとき，
　 $(M-d)^{\displaystyle{n}} + M^{\displaystyle{n}}$ と $(M+d)^{\displaystyle{n}}$
の大小を比較せよ．ただし， $M > d$ とする．

「和の方が小さくなるとき」を考えてみます．
　 $\begin{align} (M-d)^{\displaystyle{n}} + M^{\displaystyle{n}} &< (M+d)^{\displaystyle{n}} \\ \left( 1 + \frac{d}{M} \right)^{\displaystyle{n}} - \left( 1 - \frac{d}{M} \right)^{\displaystyle{n}} &> 1 \end{align}$

移項して両辺を $M^{\displaystyle{n}}$ で割っただけです．さらに， $\displaystyle{ \frac{d}{M} = r }$ とおくと， $0 < r < 1$ であり，
　 $(1 + r)^{\displaystyle{n}} - (1 - r)^{\displaystyle{n}} > 1$

と書き換えられます．左辺は上で見てきた式の形(の差)になりました．1次の近似式をそのまま当てはめてみると，
　 $\begin{align} (1 + nr) - (1 - nr) &> 1 \\ n &> \frac{1}{2r} \end{align}$

ここで具体的な値を考えてみれば， $\displaystyle{ r = \frac{1}{100} }$ となり， $n > 50$ となります．左辺に「近似」を用いているので，厳密な値は得られませんが，大小関係が逆転するおおよその「境界」がどのあたりかは知ることができます．
以下， $M = 100$ のときについて，具体的に計算した結果を示しておきます．

$d =1$ のとき， $\displaystyle{ \frac{1}{2r} = 50 }$ ，実際の答えは $n \geqq 49$ で和の方が小さい．
$d =2$ のとき， $\displaystyle{ \frac{1}{2r} = 25 }$ ，実際の答えは $n \geqq 25$ で和の方が小さい．
$d =3$ のとき， $\displaystyle{ \frac{1}{2r} = 16.6\ldots }$ ，実際の答えは $n \geqq 17$ で和の方が小さい．

こういう「アタリをつける」ところにも近似式が使えるという話でした．

*1:二項展開の式と近似式の「差」は， $\varepsilon^2$ 以降の項として現れます．係数として $n$ の式が付いているとはいえ，そこでの繰り上がりがあったとしても $\varepsilon$ が $\displaystyle{ \frac{1}{100} }$ 程度であれば繰り上がりを吸収できる．こんな感覚でわたし自身は解釈をしています．