みをつくしのひとりよがり

2022/08/10にブログ名を変えました．仕事や生活に役立ちそうな（実際に役立つかは別として）数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます．

「2022年同志社大(社会・理工)物理[III]」のメモ

Phys-Thm Exam

前回に引き続き，こちらの熱力学の問題についても，メモを書いておきます．こちらの問題は「書いてある意味の読み取り」や「言い換え」がポイントなのかなと思っています．

昨年の阪大物理第3問Aのように弾性力のあるゴム風船を膨らませたり，水に沈めてみたりをしています．

風船を少しだけ膨らませたときの仕事

(ア) 風船が大気にした仕事
気体がした仕事は，(圧力)×(体積の変化量)で与えられます．ですので，ここでは体積を増加させるのに必要な仕事を考えます．ていねいに書いておくと，問題文にもあるとおり微小量の2次以上は無視して*1，
　 \begin{align} \Delta V &= \frac{4}{3} \pi (r + \Delta r)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{4}{3} \pi \left\{ \cancel{r^3} + 3 r^2 \Delta r + \cancel{3 r (\Delta r)^2} + \cancel{(\Delta r)^3} \right\} - \cancel{\frac{4}{3} \pi r^3} \\ &= 4 \pi r^2 \Delta r \ \end{align}

そして，この仕事は「大気がされた仕事」でもあるので，考える圧力は P_0です．ということで， P_0 \Delta V = 4 \pi P_0 r^2 \Delta rが答えになります．

(イ) 風船の表面積を増加させるのに必要な仕事
こちらは「表面積を」と書いてくれているので，そのまま受け取りましょう．
　 K \Delta S = K \left\{ 4 \pi (r + \Delta r)^2 - 4 \pi r^2 \right\} = 8 \pi K r \Delta r

(ウ) 気圧の差
(ア)と(イ)は，それぞれ大気や風船がされた仕事を表しています．それらは誰がやったのかというと，風船内の気体です．風船内の気体がした仕事は， P \Delta V(風船内の気体の圧力は P！)なので， (ア)+(イ) = P \Delta Vという式を立てます．答えの式を少し変形して書いておきます．
　 \displaystyle{ P = P_0 + \frac{2K}{r} }

2022/02/23 追記
上に書いた式の形をどこかで見たことあるなあ？と思い返していたら，「2019年東京慈恵会医科大医学部物理問題1」のメモ - 理系男子の独り善がりが同じような問題でしたね．ゴムの弾性力の代わりに，水の表面張力を球面を収縮させる力として考えています．以下で示すような式の形も登場しています．

風船を水に沈めます

風船を深く沈めるほど，圧力により風船は小さくなっていきます．
『風船内の気体は単原子分子理想気体で，その密度は \rhoに比べて十分に小さい』についてですが，ここについては次のことへの条件付けだと思います．

  • 浮力が十分に(しっかりと)はたらきますよ
  • 風船は容易に縮むことができますよ(密度が近いと圧縮しづらくなる)

(エ) の浮力の大きさは，中学生でも求められると思いますので...

(オ) 水圧
ここも難しい話ではないです．圧力は面にかかる力をその面積で割ったものですから，一度面積を置いてかかる力を考えれば良いです．ここでは水平な面の面積を \sigmaとでも置いて，その面にかかる(大気からの力)+(水からの力)を考えれば， P_0 \sigma + \rho g d_1 \sigma = (P_0 + \rho g d_1) \sigmaとなります．
ちなみに， P_0は水と同様にその上部ある空気の重さ(重力)により与えられているものとなります．逆に，上部にある空気の重さは...などと考えなくても， P_0 \sigmaが上部にある空気の重さになっていると思っておけばいいです．

(カ) 風船内の気体の内部エネルギー
ここがちょっと戸惑うところかもしれません．水に沈められて，風船が縮んで，気体も圧縮されて...という「過程」を考えてしまうと，熱力学第1法則を使いたくなるところです．しかし，熱力学第1法則は内部エネルギーの変化量しか与えてくれません．しかも，今回の問題には，どこにも温度が登場していません．
そこで，問題を見返してみると，水に沈めるところで気体は単原子分子理想気体とわざわざ言ってくれています．ここはベタに \displaystyle{ U = \frac{3}{2} nRT }の式を考えればよいことになります．え？温度ないって言ってたやん！ってツッコミがあると思いますが，「 nRT」だったら置き換えできますよね...*2
　 \displaystyle{ \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2} P_1 V_1 }

体積の V_1は半径が与えられているのですぐに出せます．圧力の方ですが，(ウ)の式との対比を考えます．つまり，まわりの空気の圧力( P_0)をまわりの水の圧力( P_0 + \rho g d_1)に置き換えてあげます．すると， \displaystyle{ P_1 = P_0 + \rho g d_1 + \frac{2K}{r_1} }と求まります．

次に，風船は深さ： d_2まで浮上してきます．

(キ) 風船内の気体がした仕事
ここは断熱過程に対して熱力学第1法則を使います．(カ)で内部エネルギーは， U_1 = 2 \pi P_1 {r_1}^3と与えられているので，そのまま差を考えて， \Delta W = - \Delta U = - ( U_2 - U_1 ) = 2 \pi (P_1 {r_1}^3 - P_2 {r_2}^3)の形になります．

(ク) 上昇後の深さ
ポアソンの式： P V^{\gamma} = \mathrm{Const.}が与えられている*3ので，そこから P_2 {r_2}^5 = P_1 {r_1}^5の関係式を与え， d_2を導きます．半径についている3乗とポアソンの式の1/3乗が相殺してくれるのがうれしいですね*4．


(カ)を乗り越えられれば，全答も難しくないと思います．ちょっと言葉遊びが過ぎるかなあとも思わなくはないですが．

*1:厳密には， \displaystyle{ \frac{\Delta r}{r} }が微小であることを使って書かなければいけませんし，前についている係数も含めて大きさの評価をする必要があります．近似という大雑把なことをしているとはいえ，それなりのルールはあります．少し味方を変えて，両辺を割って \displaystyle{ \frac{\Delta V}{\Delta r}} という量を考えてみると，これは微分を考えていることになります．こちらの方がある意味素直かと思います．

*2:この問題では，物質量 nも与えられていない

*3:前回の最後に書いた微小変化の式を微分方程式にして解くと導かれる．

*4:それを見せつけたかった問題かな？(どないですか？うまいでっしゃろ？的)とも思ったり