理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

「うなり」の数学的考察~その1~

今夏の自由研究というわけではないですが,高校物理の波動で出てくる「うなり」についてです.公式も「うなりの回数」を求めるぐらいにしか使わないので,あまり注目されないところではあります.今回は,ここを突いてみようと思います.
途中,三角関数の加法定理についても凝縮した感じで触れています.

まずは,基本から

うなりは,言葉で表すとこんな感じでしょうか?
 「振動数のわずかに異なる音波が重なって,周期的な音の大きさの変化が聞こえる現象」

下図のように,ほとんど同じに見える 2つの音波でも重ね合わせると,一番下のように振幅の強弱(大小)が現れるようになります.音の大きさは振幅の大きさの 2乗に比例するので,この様子がうなりとなって聞こえることになります.
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2つの音波の周波数をそれぞれ  f_1, \ f_2とすると,うなり(beat)の振動数(1秒あたりに起きるうなりの回数):b
  b = | f_1 - f_2 |

と求められます.

この式の導出過程を以下に記しておきます.

1. わかりやすいところで,2つの音波の「音波1の山 と 音波2の山」が出会うところから考えます.

2. 次に「音波1の山 と 音波2の山」が出会うまでの間,2つの音波の山は徐々にずれていきます.(周波数が異なるから)

3. 次に山と山が出会ったときには波打つ回数の差がちょうど「1」となるようになっています.

4. このことを式に表してみます.うなりの周期(=うなりの山から山までの時間)を T_bとすると,
 音波1が波打つ回数は f_1 \cdot T_b
 音波2が波打つ回数は f_2 \cdot T_b

となり,これらの差が「1」となるので,
 \begin{align} | f_1 \cdot T_b - f_2 \cdot T_b | &= 1 \\ | f_1 - f_2 | &= \frac{1}{T_b} \end{align}

うなりの振動数は  b = 1/T_bであるので,先に示した結果となります.

本題に入る前の準備運動(?)

ここからは,2つの音波を正弦波として扱います.つまりは,\sinの関数として扱うということです.
準備として,三角関数のおさらいをしておきます.

加法定理

まあ,これは覚えておかないとダメですね*1
 \begin{align} \sin{(\alpha \pm \beta)} &= \sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha} \sin{\beta} 
\\ \cos{(\alpha \pm \beta)} &= \cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \end{align}

で,ここから先は加法定理の応用のみです.

・倍角公式 \alpha = \beta = \thetaと置いてしまう.

・半角公式 → 倍角公式において, \theta \rightarrow \theta/2と置き換える.

・和積公式
  \sin{(\alpha + \beta)} \sin{(\alpha - \beta)}の式の両辺をそれぞれ加えると,
   \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta) = 2 \cdot \sin{\alpha}\cos{\beta} }

  \alpha + \beta = A, \ \alpha - \beta = Bとすると, \alpha = (A+B)/2, \ \beta = (A-B)/2 となるので,
   \displaystyle{ \sin{A} + \sin{B} = 2 \cdot \sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} }

三角関数の合成
  \sin{(\alpha + \beta)}の式において, \displaystyle{ \cos{\beta} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin{\beta} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} }と置き換えると*2
   \begin{align} \sin{(\alpha + \beta)} &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \sin{\alpha} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \cos{\alpha} \\ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin{(\alpha + \beta)} &= a \cdot \sin{\alpha} + b \cdot \cos{\alpha} \end{align}

正直,数IIIで出てくるような三角関数の公式は,加法定理を操れれば導けるわけです.

正弦波でうなりの様子を探る

2つの音波を表す式を
  \begin{cases} y_1 = A \cdot \sin{\left( 2 \pi f t \right)} \\ y_2 = A \cdot \sin{\left( 2 \pi (f+d) t \right)} \end{cases}

とおいてみます.振幅を A,2つの音波の周波数をそれぞれ  f_1 = f, \ f_2 = f+dとし,わかりやすいように原点  t=0を位相がそろった点の一つとしています.
合成波は,単純な足し合わせなので,和積公式を用いて,
  \begin{align} y_1 + y_2 &= A \cdot \sin{(2 \pi f t)} + A \cdot \sin{\left( 2 \pi (f+d) t \right)} \\ 
&= A \cdot 2 \sin{ \left( 2 \pi \left( f + \frac{d}{2} \right) t \right)} \cdot \cos{\left( 2 \pi \frac{d}{2} t \right)} \\ 
&= \color{red}{2A \cos{\left( 2 \pi \frac{d}{2} t \right)}} \cdot \sin{\left( 2 \pi \left( f + \frac{d}{2} \right) t \right)} \end{align}

赤字の部分が合成波の「振幅」に該当する部分になります.そして,この振幅も時刻とともに変化するものとなっています.最初に書いたように音の大きさは振幅の 2乗に比例するので,倍角公式を用いて,
  \begin{align} \left\{ 2A \cos{\left( 2 \pi \frac{d}{2} t \right)} \right\}^2 &= (2A)^2 \frac{1 + \cos{(2 \pi d t)}}{2} \\ &= 2A^2 \left\{ 1 + \cos{(2 \pi d t)} \right\} \end{align}

となり,音の大きさは周期:dで変化することがわかります.

と式の上では導かれましたが,なんか気持ち悪くないですか?確かに「2乗」すると周期は dになりましたが,合成波の式における振幅の周期は d/2と半分になっています.これはどういうことでしょうか?

この問いへの答えと続きの発展は,次回に記すことにします.

*1:単位円周上での角度と座標の関係を考える.1次変換の回転移動の合成を考える.といった方法で導くことはできますね.

*2: a, \ bともに,その絶対値は  \sqrt{a^2+b^2}より小さいので, -1 < a/\sqrt{a^2+b^2} < 1, \ -1 < b/\sqrt{a^2+b^2} <1であることが言えます.