理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

ケーキのわけわけ2019

ひっさしぶりの投稿になります.すみません.
最近は,Twitterでいろいろ情報を見ては刺激を受けている日々を過ごしています*1.今回のネタも Twitterで見かけた投稿からのものです.ちょうどクリスマスの時期でもあるので,ケーキのわけわけ第2段として書いていきます.
ちなみに,2年前のネタはこれでした.
ケーキのわけわけ~ものさしを使わずに分割~ - 理系男子の独り善がり

Twitterの元ネタ

ちょっと不規則な形のケーキを 2等分するという話です.

長方形が 2つ上下に並んだような不規則な形になっています.これに対するわたしのツイートは,こんな感じでした.
 「上の小さい長方形と下の大きい長方形の中心(対角線の交点)同士を結ぼうと考えるのですが...位置関係によってはダメ?」

これは至極単純で,長方形の中心を通る直線により,その長方形の面積は 2等分される(合同な形に分けられるとも言える)という性質を用いています.ただ,ツイートの最後に書いているように「位置関係によってはダメ」な場合があります.これを解消する話になります.

ダメな場合

たとえば,こんな場合です.

3分割されてしまう場合

極端な例として端に寄せています.こうなると,中心同士を結ぶ直線がもとの図形からはみ出して「3分割」されてしまいます.これをなんとかしたいと思ったわけです.等積変形をうまく使えばいいのですが,もっと単純にできないかなとちょっと頭をひねりました.

攻め方

下の図のように,上に乗っかってる小さい長方形の面積を大きい方の横にくっつけられれば,それを 2等分するだけで話は終わります.となると,

  • ある(たて)×(よこ)で与えられる長方形の面積を
  • (たて)の長さだけが与えられている長方形に置き換える(=よこの長さを計算をしないで割り出す)

ということをしなければなりません.

等積変形もどきで 1つの長方形に置き換えてしまう

(長さ)×(長さ)という積を置きかえる方法

があればなあと思っていたら,思い出したんです.「方べきの定理」というやつを.
もとの長方形のたての長さとよこの長さがそれぞれ  AB, \ BCで与えられ,置き換えたい長方形のたての長さが  BDで与えられるとき,求めたいよこの長さは  BFとして与えられます.
作図の順番を記しておくと,

  1. 直線上に,もとの長方形のたての長さとよこの長さをプロットします(3点  A, \ B, \ C)
  2. 真ん中の点 Bから,置き換えたい長方形のたての長さだけ離れた点を  Dとしてとります.下の図では,直線  ACの垂線上に点をとっています.
  3. 線分  AD,線分  CDそれぞれの垂直二等分線(薄い水色の線)をとり,その交点を  Eとします.
  4.  Eを中心とし,点  Dを通る円(点線)を描きます.
  5. その円と直線  BD との交点を  Fとするとき,線分  BFの長さが求めたいよこの長さになります.

手順 3, 4では「3点  A, \ C, \ Dを通る円を求める」という作業をおこなっています.

方べきの定理を使う


こんな形で定規とコンパスだけで,長方形の等積変形ができることがわかりました.方べきの定理をこういう形で用いたことがなかったので,ちょっと新鮮な感じでした.

*1:お仕事のことは置いといて笑