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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

細工だらけのサイクロイド~解答編~

Math Phys-Dyn

以下,問いの解答です.計算過程は,だいぶ端折っていますので,気になる人はきちんと計算してください.

 

問1)この式を導きなさい.

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これは,図を描いて動点の座標がどのようにあらわされるかを導きます.x=a\theta-a\sin{\theta},\ y=a-a\cos{\theta}と括弧を外した形で,それぞれがどの長さを表しているかを考えるとよいです.なお,aθは円弧を表しています.(以下,計算は略)

 

問2)0≦ θ≦ φ(ただし,0≦ φ≦ 2π)におけるサイクロイドの弧長をL(φ)とする.L(φ)が以下の式で与えられることを示せ.

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これは,「曲線の長さ」の式を用いて求めます.ピタゴラスの定理より曲線の微小部分(線素)を表し,それらを寄せ集める(足し合わせる=積分する)ことで,公式が導かれます.

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上端・下端のAやBは曲線の両端の点を表しており,実際には対応する変数の値(x座標であったり,媒介変数であったり)になります.

この式を用いて,L(φ)を求めます.

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最初の積分で上端にPと書いているのは,θ=φとなる点を表しています.

  • 1行目から2行目では,変数の置き換え(置換積分)をおこない,
  • 3行目では1-cosθ≧0であることが自明なので絶対値は外してあります.
  • 3行目から4行目へは半角公式を用いて変形しています.絶対値記号がついていますが,これもそのまま外すことができます(0≦ θ≦ 2πより).
  • 4行目を積分して,求めたい形が導かれました.

 

問3)点Pの軌跡を媒介変数表示で表せ.そして,その軌跡がグレー部分のサイクロイドの一部と合同であることを示せ.

点Pの座標を(X,Y)と置いて考えていきます.未知な変数が2つ(XとY)あるので,条件式も2つ以上出てこなければなりません.

条件1)直線PQの傾きは,点Qにおけるサイクロイド微分係数に等しい.

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条件2)OQP=4aである.

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ここに,問2の結果が登場します.これらを連立させて,

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となります.ただし,-π≦ θ≦ πという条件が付きます.そして,θ-π=ωとでも書き改めれば,もとのサイクロイドをx軸方向にaπ,y軸方向に-2aだけ平行移動したものであることが示されます.

 

問4)弧ABの長さを媒介変数を用いて表せ.また,sin(α)をサイクロイドの媒介変数を用いて表すことにより,質点にはたらく力の大きさが弧ABの長さに比例し,向きが変位と逆になることを示せ(単振動であることの証明).

弧ABの長さは,平行移動していることに注意して,

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と求められます.

次に,角αについて整理をします.αだけ傾いた直線の傾きは,tan(α)と表されるので,

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となります.そして,sin(α)をtan(α)を用いて表します.ここでは,1+tan^2(α)=1/cos^2(α)を利用します.すると,運動方程式は以下のように表されます.

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共通している√の項を消去すれば,

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と,単振動を表す式が導かれました.ちなみに,この振り子の周期は,\displaystyle{ 2\pi \sqrt{\frac{4a}{g}} } となり*1,この周期の1/4が最速降下曲線で到達するために要する時間だということになります.

 

 

*1:もとのひもの長さが4aなので,このままの方がよい