「2021年京大物理第1問」のメモ - みをつくしのひとりよがり

ほぼ1年ぐらいぶりのネタ書きになります*1．とりあえず京大さんと阪大さんのメモを書いていきます．全体的に近似など「物理的な計算」は増えてる印象です．

では，京大さんの第1問から．
ボールをぶつけて，小球をどんどん高く上げていくというアゲアゲな問題です．力学的エネルギー保存則／運動量保存則／弾性衝突の式を立てられれば解ける問題です．

(1) 1回目の衝突

まずは，ここで小手調べです．ちょっとていねいに書いておきます．図も載せておきます．

[ア]は，力学的エネルギー保存則から
[イ]は．水平方向の速度が変わらないことと $\sin^2{\theta_1} + \cos^2{\theta_1} = 1$ の式変形から
[ウ]は，衝突直前での運動量の和(図1(b)に描かれている符号も確認しつつ)
[エ]は，これも符号に注意しながら，衝突直前の相対速度を書きます．

[ウ]の運動量保存則の式と[エ]の弾性衝突の式を連立させて解いて，[オ]と[カ]が求まります．
ボールの衝突直後の速度成分が 0となるように，ボールの質量を定めます([キ])．ボールが勢いを失った分，小球に勢いがつくというわけです．このときの $M = 3m$ を代入して，[ク]： $v_1 = 2 V_0$ を得ます．

(2) 衝突の繰り返し

ページを移った瞬間目に入ってくるのは，まさかの漸化式です．ただ，その前に書かれている文章を式に書き換えられていれば，なんてことありません．

運動量保存則： $m \cdot a_n V_0 = -m \cdot a_{n-1} V_0 + M_n \cdot V_0$
弾性衝突の式： $\displaystyle{ 1 = - \frac{ a_n V_0 }{ -a_{n-1} V_0 - V_0 } }$

2つ目の式から，数列： $\{ a_n \}$ の漸化式が導かれます([コ])．階差数列だなんだと言ったりすることもなく，「2からスタートして，1ずつ加えていくだけ」の数列の一般項を求めます([サ])．

[シ]のところは，最大高度では水平方向の速度しか持たないことに注意して，力学的エネルギー保存則の式を立てて変形するだけです．
　 $\displaystyle{ mg (h_n - h) + \frac{1}{2}m \left\{ (n+1)V_0 \cos{\theta_1} \right\}^2 = \frac{1}{2} m \left\{ (n+1)V_0 \right\}^2 }$