理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

Math

京都大学の特色入試数学からつらつらと~その1~

この時期はどうしても仕事がバタつくので,何かネタを書きたくても書けないことが多くなります.というところで,ほんとにいまさらなのですが,昨年11月におこなわれた京都大学特色入試の問題を見て感じたことをつらつらと書いてみます.この入試,大手予備…

条件付き確率~なにがややこしいのか?~

前回の続きになります.定義・初級編・上級編という流れで書いていきます.※2016/01/26 一部修正をしています. 定義 2つの事象A,Bについて,事象Aがすでに起こっているとしたときに事象Bが起こる確率を「Aが起こったときのBの条件付き確率」といいまたはと…

2016年センター試験数学~数IA~の補足メモ

数学IA 第3問(条件付き確率)と第4問(不定方程式)についての補足メモです. 第3問 条件付き確率の問題は,図で考えやすい場合と絵が描きにくい場合があると思います.今回の問題は図で考えやすい方かと思います.確率は「分母と分子」で求められるものなので…

2016年センター試験数学~数IIB~

数IIBです.とうとう,気にしていた「あの」問題が今年は登場しましたね. 数学IIB 第1問 [1] (1)昨年は√と3乗根を指数に置き換えましたが,今年はみごとに逆です(笑).対数計算のおまけつきです. (2)問いたかったのは2番目の「逆関数」なのかなあ?という…

2016年センター試験数学~数IA~

昨年は,数IIBの難しさがニュースになるぐらいでしたが,今年はどうだったんでしょうか?また,一通り解いてみました.先に,数IIBも含めた全体的な印象を書いてしまうと, 思考力より,計算力と知識力を問うた?というところです.知識力というよりは,暗記…

2016申も,よろしくお願いいたします〜解答編〜

整数問題に分数が出てくると,ちょっと難易度があがった感じになりますね.数え上げる or 書き出してしまえば,ベタに計算できてしまう.でも,それでは時間がかかるし,計算ミスの確率も高くなる.論理的かつ効率的な考え方が必要となります. 1)約数の個数…

2016申も,よろしくお願いいたします〜問題編〜

あけましておめでとうございます.2015年は2014年ほどまではネタが書けませんでしたが,それなりに濃く重いものも,軽いものも書けたかなと思っています.引き続き,お付き合いいただければ幸いです. 1年前は2015(2014も)を用いた整数問題を出させてもらい…

連続する10個の自然数の和〜ハナタカで出た方法の裏付け〜

ちょうど「ハナタカ」を見ていて出てきたので、その理由をメモっておきます。 問題 nからはじまる連続した10個の自然数の和を求めなさい。 高校数学であれば、等差数列の和の公式ですね。ハナタカさんの方法は、この公式をちょっと変形したものです。その公…

進むのにマイナスとは,これ如何に~図形の平行移動~

高校数学の2次関数で「頂点」や「軸」が出てくるころに,のどの奥に引っかかるような感覚になるアレです.具体例を挙げると, 放物線:をx軸方向に +2だけ平行移動したものは,と表される.そうです,x軸の正の方向に「進んでいる」のに,式の上では「マイナ…

ガウス記号のおまけ~その3~

時間が空いたのですが,おまけの第3弾を書いていきます.たまたま,最近見かけたある問題をきっかけにしています. 問題 この問題は,次の数学オリンピック2009年予選問題を改題したものです. この予選問題を見ての所感(最初に考えたこと)をいろいろと書い…

蚊取り線香のうず巻き~その2~

前回の最後に触れていた「疑問」ですが,わたしは以下のようなものが出てきました. まきが1周や2周だった場合,中間地点の位置はどうなるのか.なにか規則性のようなものは見つかるのか? アルキメデスの螺旋以外に,蚊取り線香のまきを表せるような図形は…

蚊取り線香のうず巻き~その1~

先日,Eテレ2355金曜日の夜更かしワークショップで「蚊取り線香」を扱った内容が放送されていました.今回は,この内容を数学的に追っかけてみます. 元ネタ 夜更かしワークショップでは,「蚊取り線香のうず巻きの中間地点は,どのあたりなのか?」という問…

料理 de すうがく & ぶつり

西日本から関東あたりまでは梅雨明けをしたようですね.最近,ネタを揉む時間があまりないせいか,純粋な数学や物理の話に向くことが多かったようです.たまには「役に立つかはつゆ知らず」な生活じみたネタも書いてみようかと. 料理は科学だ と言った人が…

ガウス記号のおまけ~その2~

では,濃い目の2問目です. 問題2 確か,赤チャートかなんかに載ってた問題だったと思います.どちらかというと,ガウス記号以外の考え方がいろいろと出てくる私が思うにいい問題です. まずは「大きく」とらえて 数列の一般項は,x-[x]=x-(xの整数部分)…

ガウス記号のおまけ~その1~

せっかくなので,ガウス記号の問題を2題ほど解説してみたいと思います. 問題1 次の和を求めよ. 解答1 こういう問題は,試行錯誤をいろいろしてみて道筋を見つけることが大事です.ここはベタに和を書き下してみます. 赤字のところが「境界」となり,そこ…

ガウス記号

ガウス記号:[x]は,「xを超えない最大の整数」という定義が与えられますが,特に公式が与えられてたりするわけではありません.整数問題の一つという感じですね.ここでは,ちょっと角度を変えて見たりすることで,この記号の扱い方を整理してみたいと思い…

空き缶 de 作図

5月は更新ができませんでした.書きたいネタは,ちょこちょこと頭に出てくるんですが... 今回は,空き缶(円筒)とコンパスで遊んでみたいと思います.これらがあれば,簡単に試せる内容です. 問題 空き缶に紙を巻きつけ,そこへコンパスで円を描きます.巻き…

「2015年京大前期理系数学第6問」のメモ no 補足

またまた少し時間が経ちましたが,前回の続きです.もう少し突っ込んでみます. 数列の一般項 この数列は, もとの値を半分にするか(0から1/2の間に入るか) もとの値を半分にしてから,1/2加えるか(1/2から1の間に入るか) のいずれかをおこなって次の値を得…

「2015年京大前期理系数学第6問」のメモ

東大をやったら京大もということで,ちょっと時間が経っていますが,こちらも1問ピックアップしてメモを残しておきたいと思います. 問題 2つの関数を とおく. から始め,各 について,それぞれ確率 で または と定める.このとき,となる確率を求めよ. 一…

「2015年東大前期理系数学第5問の考え方」をメモしておく

受験生のみなさんは,一息ついているところでしょうか?あまり,息を抜きすぎると体調を崩してしまうかもしれないので,注意してくださいね. まだ,多くの大学の問題はWeb公開まで至っていませんが,その中で注目したのは東京大学前期理系数学第5問です.ざ…

細工だらけのサイクロイド~解答編~

以下,問いの解答です.計算過程は,だいぶ端折っていますので,気になる人はきちんと計算してください. 問1)この式を導きなさい. これは,図を描いて動点の座標がどのようにあらわされるかを導きます.と括弧を外した形で,それぞれがどの長さを表してい…

細工だらけのサイクロイド~問題編~

久々の更新で,もう2次試験が目の前まで迫ってしまいました.サイクロイドについて,ちょっと掘り下げてみます.いままでも,最速降下曲線であることとして登場していますが,今回は「振り子」の軌跡として高校数学+高校物理の範囲で扱っていきます. 単振…

2015年センター試験数学の印象~数IIB~

さて,問題の数IIBです.対数は出てこないものの,「指数に死す(ぅ)」というところでしょうか・・・ 数IIB 第1問 [1]加法定理の逆が地味に登場する問題ですね.半径2の円周上を回る点Pとその点Pを中心に半径1で回る点Qという見方ができれば,冒頭のOP,OQは…

2015年センター試験数学の印象~数IA~

すでに,Yahooニュースでは「数2Bが難しすぎる」というコメントも出ていて,「いったいどんな問題が出たのか?問題自体の難易度なのか,量の問題なのか?」と気になっていました.そこで,一通り解いてみました.新課程用の問題を解きましたが,古い人間なの…

新年あけましておめでとうございます~解答編~

以下,解答のすすめ方を記していきます.整数問題としては定番ともいえる形なので,難易度はそう高くないはずです.ただ,扱っている数が比較的大きな数なので計算間違いを引き起こしやすい問題ではあります. 問題を式に表す まず,この問題の内容を式に表…

新年あけましておめでとうございます

みなさまに発信するというよりは,自分の頭の中を整理するような感じで,ぼちぼち書かせてもらっています.今年も適当にお付き合いくださればと思っています. そして,センタ試験も近くなってきましたね.2次試験向きなごちゃごちゃしたことを書くのもなん…

三角形の面積を二等分する「垂線」

解けそうで解けないと思ったら,解けちゃったという感じの問題です.タイトルどおり,問題自体はいたってシンプルです. 問題 三角形ABCにおいて,AB≧ACとする.辺BC上の点Sより垂線を引き,三角形ABCの面積を二等分する.点Sはどのような点として表されるか…

プレゼント交換会の数学~完全順列~

今回は,完全順列を考えます.別名,攪乱順列とも呼ばれるもので,こちらの方が意味を理解しやすいようにも思います.問題として考えることにします.メインは場合の数ですが,数列や数学的帰納法の内容も含んでいます. 問題 まずは,(1)から これは,順当…

散布図と相関の使い方~たとえば,こんなのどうでしょう?~

先日,ゴルフコンペに参加してきました.グリーンの芝がベクトル場のように矢印で見えたり,物理原理をうまく使えられれば,上達するのかもしれませんが,それよりも自分の感覚(くせ)の方が勝ってしまうので,うまくなれません(苦笑).しかし,そのような人…

大は小を兼ねる?~空間図形と平面図形~

書きたいなあと思っているネタはあるのですが,ちょっと手が回ってません.今回は,以前に書いたネタの焼き直しをします. 1次変換の補足~その2~で触れていた図形の方程式に関する内容です.直線の方向ベクトルを空間図形の方程式の形に当てはめて求めると…