選挙の算数～その2～ - みをつくしのひとりよがり

前回に引き続き，選挙にまつわる算数(数学)を書いてみようと思います．今回は，ちょっと濃い目の内容です．

比例代表といえば

その計算方式として出てくる「ドント式」というのがあります．比例代表の計算方式には，他にもいろいろあるそうです．そのドント式について，ちょっと書いてみます．

以下では，Wikipediaに挙げられている例：ドント方式の例を参照とします．

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使っている計算は「割り算」だけです．

得票数に対して，その党の議席に「得点」を割り当てていきます．得点は
　(党の得票数)÷(その党で何人目の当選者になるか)
という計算で算出します．得点は他の党との兼ね合いになるので，議席順位だけでは決まらないものになります．
上の表は「横」に見るのがわかりやすいと思います．「横」で一番得点の高い党が議席を獲得します．そして，そのとき議席を獲得した党は次の議席から得点が変わります．

一度，自分で計算してみれば，難しくないですよね．なにせ，割り算だけですから(笑)．

一般に死に票が少ないといわれる比例代表ですが，二大政党制となるとあまり意味がないということも，計算を通じてわかるかと思います．

選挙のエントロピー？

ここからはちょっと強引な内容になります(苦笑)．とりあえず，計算をしてみて，その結果を考察する形で，エントロピーとは何かということに触れてみたいと思います．

エントロピーの定義(ひとまず)

確率変数： $X$ に対して $X = i$ となる確率を $P_i$ とするとき，(情報論的な)エントロピー： $H$ は

　 $\displaystyle{ H = \sum_i P_i \log{\frac{1}{P_i}} = - \sum_i P_i \log{P_i} }$

と定義されます．通常，対数の底は2とすることが多いです．底を2とすることも含めて，追々意味は説明していきます．

簡単な例

ということで，二大政党(X党，Y党)の下でエントロピーを考えてみます．それぞれの党の得票率を $x, \ y$ とすると， $x+y=1$ であることに注意して，

　 $H = -x \log{x} - y \log{y} = -x \log{x} - (1-x) \log{(1-x)}$

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となります．この式は底の値に関係なく，

$\displaystyle{ x = \frac{1}{2}\ \left(y = \frac{1}{2} \right) }$ のとき最大値1を，
$x = 0\ (y = 1)$ または $x = 1\ (y = 0)$ のとき最小値0をとります．

グラフを描くと，上に凸である放物線のような形状になります． $x$ と $y$ の対称式であることからも， $\displaystyle{ x = \frac{1}{2} }$ がキーになることは推測できますね．

ところで、情報論的エントロピーは「情報量」とも呼ばれます．これは集団の中からある情報(票)を取り出したときの「乱雑さ」「多様性」を表す指標となっています．

単位は「bit」を使います．コンピュータで出てくるあの「bit」です．上の定義の説明で対数の底を2とすることが多いというのは，コンピュータ(符号化)で扱うことを前提とした定義から出ているものとなります．具体的な値を計算してみると，

$\displaystyle{ x = y = \frac{1}{2} }$ のとき，全投票から1票を取り出したときにX党かY党であるかは均等に現れます．これを0(X党)か1(Y党)かの2進法で表すことにすると，0と1が均等に現れることになります．このとき，「情報量は1bitである」といいます．
$x = 0$ のとき，一票を取り出してもY党しか現れません．これは2進法に置き換えると，1しか現れないということになります．このとき，「情報量は0bitである」といいます．
$\displaystyle{ x = \frac{1}{4}\ \left(y = \frac{3}{4} \right) }$ のときであれば，情報量は約0.81bitとなります．1bitほどまでではないが多様性はある．という状況を表しています．

「X党かY党か」という言い方からすると「2とおり」という場合の数的な表現が用いられますが，そのようなものとは異なり，「どのくらいかき混ぜられているか」「どのくらい偏っているか」を表すような指標がエントロピー(情報量)ということになります．

「場合の数」的に言えば，選択肢が2つあれば、いずれの場合でも「2とおり」ということになります．しかし，そのエントロピー(情報量)は，どちらかというと「期待値」に近い存在とも言えます．ただ試行によって得られる期待を表すのではなく，その選択肢の多様性を定量化したものととらえることができます．

もう一例

二大政党だけじゃ面白味がないので，政党を4つ(P党，Q党，R党，S党)にしてみます．エントロピーが最大となるのは，上と同様にそれぞれが均等になっているとき，すなわち1/4ずつを占めているときとなります．このときのエントロピーは， $\displaystyle{ 4 \times \frac{1}{4} \log{4} = 2 \ \rm{bit} }$ となります．これは1票を取り出したときに，

それがP党＝「2進数コード：00」であるか，
またはQ党＝「2進数コード：01」であるか，
またはR党＝「2進数コード：10」であるか，
またはS党＝「2進数コード：11」であるか

のように分けられるということを意味しています．同じ均等でも種類が増えれば，多様性も増すということです．

実は，エントロピーの話を適用できるもう少し実践的な例が過去にあります．それは東大総合科目 2014第1問Bの話です．振り分ける荷物の割合が出てきますが，上の式に当てはめれば，それぞれのエントロピーが求められます．

(B-1)行き先がD1～D4の4箇所で，それぞれの割合が1/16，3/16，1/4，1/2であるときのエントロピーは，約1.70bitとなります．最大値が2bitであることからすると、結構ばらついていることが読み取れます。

この問題は，他のサイトさんの解説でも書かれているように「ハフマン符号」と呼ばれる符号化の応用問題となっています．文字を0と1で置き換えるときに効率良くおこなう(また逆に，符号から文字に戻す効率をよくする)ことを考えるものです．よく現れる文字は短く表すようにすることを目的としています．気になる方は，Wikipediaさんのページを参照してみてください．

個人的には熱力学・統計力学的なエントロピーに最近関心を持っていて，いろいろ読み漁っているのですが，なかなかいい「腹落ち」がしないままでいます．単純に比率で見るもの悪くはないですが，たまにはこういった見方をしてみるのもいいかな？と思って挙げてみました．