3月4日はバウムクーヘンの日なので，積分します(？)

今日はバウムクーヘンの日だそうです．ユーハイムさんが日本ではじめてバウムクーヘンを焼いた日がちょうど100年前の今日だそうです．はじめての地が広島だったとはちょっと意外でした．
2022/03/29追記：いまさら知ったことなのですが，この「広島」というのは当時の広島県物産陳列館，いまの原爆ドームで焼かれたとのことです．100周年のリンクが切れていたので，歴史のページに変更しました．
ユーハイムの歴史 | ユーハイム | Juchheim

で，それにちなんで(？)「バウムクーヘン積分」の話をしておきます．以前，料理のコーナーの注釈で触れている程度でした．
miwotukusi.hatenablog.jp

回転体の体積を求めるときに使うものです．
通常使う回転体の体積の求め方は，ちょっとおさらいしておくと，

回転軸に対して垂直な面で「輪切り」にして，
輪切りの厚さを微小( $dx$ )とすることで，輪切りの表面と裏面の面積が等しい円筒形であるとみなして，
積分して足し合わせる．

こんな感じでした．

バウムクーヘン積分は，文字どおりバウムクーヘンのように，回転軸から外に向かって薄い円筒を重ねていったイメージで体積を求めるものです．ちなみに，バウムクーヘンはドイツ語で木のお菓子(baumは木，kuchenはケーキのこと)という意味で，見た目が年輪のようになっているところから呼ばれています．

具体例を使って計算方法を記します．

円錐の体積をバウムクーヘン 積分で求める．

図のように，底面が半径： $R$ の円，高さ： $h$ の円錐があります．この体積をバウムクーヘン積分で求めます．

回転軸から $x$ だけ離れたところにある「円筒」の高さは， $\displaystyle{ \left( 1 - \frac{x}{R} \right) h }$ となります．
この円筒の側面積は， $\displaystyle{ 2 \pi x \cdot \left( 1 - \frac{x}{R} \right) h }$ となります．
これに微小な厚み： $dx$ をかけて足し合わせれば(積分をすれば)，

　 $\begin{align} \int_0^R 2 \pi x \cdot \left( 1 - \frac{x}{R} \right) h \, dx &= 2 \pi h \int_0^R x \left( 1 - \frac{x}{R} \right) \, dx \\ &= 2 \pi h \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3R} \right]_0^R \\ &= \frac{1}{3} \pi R^2 h\end{align}$

と公式どおりの式が求められました．

で，この計算，今年しれーっと出てるところがありました．

2019年京大物理第2問(2)

この図が出てくる問題です．

この円内を通る磁束(磁束密度を足し合わせた量)を求めている式として，問題文中に以下のように記されています．
　 $\displaystyle{ \Phi_R = \frac{1}{3} \pi R^2 B_0 }$

円錐の高さが $B_0$ と変わっているだけです．
で，この式を用いて半径： $a \, ( \leqq R)$ の内側にある磁束を求めなさいという問いがあります．単に，バウムクーヘンの積分範囲が $0 \leqq x \leqq a$ となるだけなので，
　 $\begin{align} \Phi_a &= 2 \pi B_0 \int_0^a x \left( 1 - \frac{x}{R} \right) \, dx \\ &= 2 \pi B_0 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3R} \right]_0^a \\ &= \pi B_0 a^2 \left( 1 - \frac{2a}{3R} \right) \end{align}$