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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

「2016年東大前期理系数学第5問(整数問題)」のメモ

Math Exam

今年は「あまり」に絡んだ整数問題があちこちで出されていますね.先に書いた京大の問題もそうですし.
東大の問題からも,整数問題(小数問題?)を取り上げておきます.


問題はちょっと長いので,河合塾さんへのリンクで.


この問題,小数部分に関する問題という書き方*1ですが,以前書いたガウス記号の話と進め方はほぼ同じです.最後には,ガウス記号そのものも登場してきますし(とは言っても,ガウス記号らしいことは結局何もしないのですが).
miwotukusi.hatenablog.jp

(1)も(2)も,長ったらしい小数部分は一度 \alphaとでも置いてしまい,
 P^2 \leqq n < Q^2 や {P'}^2 \leqq m < {Q'}^2

の形にして,「差 Q^2-P^2がどのくらいの幅(差)を持つのか」や「{Q'}^2-{P'}^2が1よりも大きくなるか」を見極めることになります.幅(差)が1よりも大きければ,その区間には必ず整数が含まれますよね.数直線上で考えてみればわかりやすいと思います.
その際に,式に現れてくる「小数部分同士の和や積が1よりも大きくならないか」という評価をしてあげることになります.(2)では「5 \cdot 10^{k-1}以上」というものが唐突に出てくる感じですが,\displaystyle{ 5 \cdot 10^{k-1} = \frac{1}{2} \cdot 10^k }と言い換えることができれば,必然的であることは理解できると思います.*2

(3)がある意味拍子抜けです.(1)(2)が変な前振りになっていて,単純な「背理法の話」であることを隠しているように見えます.\sqrt{s}無理数でないとすると,\sqrt{s} = [ \sqrt{s}]になっちゃいますからね.一応,以下が参考ということになるでしょうか?
miwotukusi.hatenablog.jp


昨年の _{2015} C_mの問題からすると,だいぶ易しくなってるように思います.

*1:ここが一見,今年のセンター試験でも出たp進法の分数?にも見えてくる感じでいやらしい

*2:この書き方が物理の有効数字に見えてしまうのですが.